20810518-2 - GEOMETRIA E COMBINATORIA II MODULO

Fornire la conoscenza di argomenti di algebra lineare e geometria utili non solo per studi più approfonditi di matematica, ma anche per le applicazioni in altre discipline. I vari argomenti saranno affrontati con un approccio di tipo concreto, passando dalla trattazione di problemi particolari al caso generale e sollecitando la partecipazione attiva degli studenti per far loro acquisire più facilmente i concetti.

Curriculum

Canali

scheda docente | materiale didattico

Programma


Matrici e operazioni fra matrici. Sistemi lineari e loro risoluzione.

Testi Adottati

Giulia Maria Piacentini Cattaneo
Matematica discreta e applicazioni
Zanichelli 2008


Bibliografia Di Riferimento

Nicholson Algebra lineare McGraw-Hill 2001

Modalità Frequenza

frequenza consigliata

Modalità Valutazione

prova scritta

scheda docente | materiale didattico

Programma

1. Equazioni lineari e numeri
Sistemi di equazioni lineari. Matrice associata a un sistema lineare. Sistemi equivalenti. Numeri naturali, interi, razionali, reali e loro proprietà. Richiami di teoria degli insiemi: inclusione di insiemi, differenza di insiemi.
2. Matrici e insiemi
Matrici a coefficienti reali. Matrici quadrate, triangolari, diagonali. Matrice trasposta di una matrice e matrici simmetriche. Richiami di teoria degli insiemi: unione e intersezione di insiemi.
3. Lo spazio vettoriale delle matrici
Addizione tra matrici e sue proprietà. Moltiplicazione di uno scalare per una matrice e sue proprietà.
4. Moltiplicazioni tra matrici
Moltiplicazione tra matrici aventi dimensioni compatibili. Proprietà della moltiplicazione: proprietà associativa e proprietà distributive. Esempi che mostrano che la moltiplicazione tra matrici non soddisfa la proprietà commutativa e la proprietà di semplificazione. Matrici e sistemi lineari.
5. Determinanti
Definizione per induzione del determinante usando lo sviluppo secondo la prima riga. Proprietà del determinante: sviluppo secondo una qualsiasi riga o colonna, determinante della matrice trasposta, determinante di una matrice triangolare. Teorema di Binet.
6. Matrice inversa
Matrice unità. Matrice inversa. Proprietà dell'inversa. Teorema di Cramer.
7. Rango di una matrice
Definizione. Proprietà del rango. Minori di una matrice. Teorema dell'orlare.
8. Sistemi di equazioni lineari
Definizioni. Teorema di Rouché-Capelli. Metodo di Rouché-Capelli per la soluzione di un sistema lineare.
9. Metodo di Gauss
10. Applicazioni del metodo di Gauss
Operazioni elementari. Calcolo del determinante. Calcolo del rango.
11. I vettori geometrici
Vettori del piano. Addizione di vettori. Moltiplicazione di un vettore per uno scalare. Vettori dello spazio. Rette e piani per l'origine. Punto medio.
12. Combinazioni lineari di vettori geometrici
Combinazioni lineari. Vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Caratterizzazione dei vettori linearmente indipendenti in V2(O) e V3(O).
13. Spazi vettoriali sui reali
Definizione di spazi vettoriali. Esempi di spazi vettoriali. Prime proprietà degli spazi vettoriali.
14. Sottospazi vettoriali
Definizione di sottospazi vettoriali. Sottospazi di V2(O) e V3(O).
15. Generatori di spazi vettoriali
Combinazioni lineari e generatori.
16. Dipendenza e indipendenza lineare
17. Basi di spazi vettoriali
Basi. Dimensione. Dimensione dell'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo. Dimensioni di sottospazi. Calcolo di dimensioni e basi.
18. Intersezione e somma di sottospazi
Intersezione di sottospazi vettoriali. Somma di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann.
19. Sottospazi affini
Le rette del piano e dello spazio. I piani dello spazio. Sottospazi affini. Insieme delle soluzioni di un sistema.
20. Omomorfismi
Omomorfismi tra spazi vettoriali. Matrice associata a un omomorfismo. Omomorfismo associato a una matrice.
21. Immagine
Proprietà dell'immagine di un omomorfismo. Calcolo dell'immagine di un omomorfismo. Condizione di suriettività di un omomorfismo.
22. Nucleo
Proprietà del nucleo di un omomorfismo. Calcolo del nucleo di un omomorfismo. Condizione di iniettività di un omomorfismo.
23. Endomorfismi
Matrice associata a un endomorfismo. Cambiamento di base.
24. Autovalori e autovettori
Definizioni e prime proprietà. Autospazi. Polinomio caratteristico. Matrici diagonalizzabili.
25. Diagonalizzazione
Condizioni di diagonalizzabilità. Procedimento di diagonalizzazione.

Testi Adottati

G. Accascina e V. Monti, Geometria*
* Il libro è disponibile gratuitamente al seguente link: http://www.dmmm.uniroma1.it/accascinamonti/geogest/Geometria.pdf


Bibliografia Di Riferimento

MATERIALE DISPONIBILE SULLA PAGINA E-LEARNING DEL CORSO, INCLUSE DISPENSE DEL DOCENTE

Modalità Erogazione

lezioni frontali, esercitazioni

Modalità Valutazione

intermedia/finale, orale/scritta

scheda docente | materiale didattico

Programma

1. Equazioni lineari e numeri
Sistemi di equazioni lineari. Matrice associata a un sistema lineare. Sistemi equivalenti. Numeri naturali, interi, razionali, reali e loro proprietà. Richiami di teoria degli insiemi: inclusione di insiemi, differenza di insiemi.
2. Matrici e insiemi
Matrici a coefficienti reali. Matrici quadrate, triangolari, diagonali. Matrice trasposta di una matrice e matrici simmetriche. Richiami di teoria degli insiemi: unione e intersezione di insiemi.
3. Lo spazio vettoriale delle matrici
Addizione tra matrici e sue proprietà. Moltiplicazione di uno scalare per una matrice e sue proprietà.
4. Moltiplicazioni tra matrici
Moltiplicazione tra matrici aventi dimensioni compatibili. Proprietà della moltiplicazione: proprietà associativa e proprietà distributive. Esempi che mostrano che la moltiplicazione tra matrici non soddisfa la proprietà commutativa e la proprietà di semplificazione. Matrici e sistemi lineari.
5. Determinanti
Definizione per induzione del determinante usando lo sviluppo secondo la prima riga. Proprietà del determinante: sviluppo secondo una qualsiasi riga o colonna, determinante della matrice trasposta, determinante di una matrice triangolare. Teorema di Binet.
6. Matrice inversa
Matrice unità. Matrice inversa. Proprietà dell'inversa. Teorema di Cramer.
7. Rango di una matrice
Definizione. Proprietà del rango. Minori di una matrice. Teorema dell'orlare.
8. Sistemi di equazioni lineari
Definizioni. Teorema di Rouché-Capelli. Metodo di Rouché-Capelli per la soluzione di un sistema lineare.
9. Metodo di Gauss
10. Applicazioni del metodo di Gauss
Operazioni elementari. Calcolo del determinante. Calcolo del rango.
11. I vettori geometrici
Vettori del piano. Addizione di vettori. Moltiplicazione di un vettore per uno scalare. Vettori dello spazio. Rette e piani per l'origine. Punto medio.
12. Combinazioni lineari di vettori geometrici
Combinazioni lineari. Vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Caratterizzazione dei vettori linearmente indipendenti in V2(O) e V3(O).
13. Spazi vettoriali sui reali
Definizione di spazi vettoriali. Esempi di spazi vettoriali. Prime proprietà degli spazi vettoriali.
14. Sottospazi vettoriali
Definizione di sottospazi vettoriali. Sottospazi di V2(O) e V3(O).
15. Generatori di spazi vettoriali
Combinazioni lineari e generatori.
16. Dipendenza e indipendenza lineare
17. Basi di spazi vettoriali
Basi. Dimensione. Dimensione dell'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo. Dimensioni di sottospazi. Calcolo di dimensioni e basi.
18. Intersezione e somma di sottospazi
Intersezione di sottospazi vettoriali. Somma di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann.
19. Sottospazi affini
Le rette del piano e dello spazio. I piani dello spazio. Sottospazi affini. Insieme delle soluzioni di un sistema.
20. Omomorfismi
Omomorfismi tra spazi vettoriali. Matrice associata a un omomorfismo. Omomorfismo associato a una matrice.
21. Immagine
Proprietà dell'immagine di un omomorfismo. Calcolo dell'immagine di un omomorfismo. Condizione di suriettività di un omomorfismo.
22. Nucleo
Proprietà del nucleo di un omomorfismo. Calcolo del nucleo di un omomorfismo. Condizione di iniettività di un omomorfismo.
23. Endomorfismi
Matrice associata a un endomorfismo. Cambiamento di base.
24. Autovalori e autovettori
Definizioni e prime proprietà. Autospazi. Polinomio caratteristico. Matrici diagonalizzabili.
25. Diagonalizzazione
Condizioni di diagonalizzabilità. Procedimento di diagonalizzazione.

Testi Adottati

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* Il libro è disponibile gratuitamente al seguente link: http://www.dmmm.uniroma1.it/accascinamonti/geogest/Geometria.pdf


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2. Matrici e insiemi
Matrici a coefficienti reali. Matrici quadrate, triangolari, diagonali. Matrice trasposta di una matrice e matrici simmetriche. Richiami di teoria degli insiemi: unione e intersezione di insiemi.
3. Lo spazio vettoriale delle matrici
Addizione tra matrici e sue proprietà. Moltiplicazione di uno scalare per una matrice e sue proprietà.
4. Moltiplicazioni tra matrici
Moltiplicazione tra matrici aventi dimensioni compatibili. Proprietà della moltiplicazione: proprietà associativa e proprietà distributive. Esempi che mostrano che la moltiplicazione tra matrici non soddisfa la proprietà commutativa e la proprietà di semplificazione. Matrici e sistemi lineari.
5. Determinanti
Definizione per induzione del determinante usando lo sviluppo secondo la prima riga. Proprietà del determinante: sviluppo secondo una qualsiasi riga o colonna, determinante della matrice trasposta, determinante di una matrice triangolare. Teorema di Binet.
6. Matrice inversa
Matrice unità. Matrice inversa. Proprietà dell'inversa. Teorema di Cramer.
7. Rango di una matrice
Definizione. Proprietà del rango. Minori di una matrice. Teorema dell'orlare.
8. Sistemi di equazioni lineari
Definizioni. Teorema di Rouché-Capelli. Metodo di Rouché-Capelli per la soluzione di un sistema lineare.
9. Metodo di Gauss
10. Applicazioni del metodo di Gauss
Operazioni elementari. Calcolo del determinante. Calcolo del rango.
11. I vettori geometrici
Vettori del piano. Addizione di vettori. Moltiplicazione di un vettore per uno scalare. Vettori dello spazio. Rette e piani per l'origine. Punto medio.
12. Combinazioni lineari di vettori geometrici
Combinazioni lineari. Vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Caratterizzazione dei vettori linearmente indipendenti in V2(O) e V3(O).
13. Spazi vettoriali sui reali
Definizione di spazi vettoriali. Esempi di spazi vettoriali. Prime proprietà degli spazi vettoriali.
14. Sottospazi vettoriali
Definizione di sottospazi vettoriali. Sottospazi di V2(O) e V3(O).
15. Generatori di spazi vettoriali
Combinazioni lineari e generatori.
16. Dipendenza e indipendenza lineare
17. Basi di spazi vettoriali
Basi. Dimensione. Dimensione dell'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo. Dimensioni di sottospazi. Calcolo di dimensioni e basi.
18. Intersezione e somma di sottospazi
Intersezione di sottospazi vettoriali. Somma di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann.
19. Sottospazi affini
Le rette del piano e dello spazio. I piani dello spazio. Sottospazi affini. Insieme delle soluzioni di un sistema.
20. Omomorfismi
Omomorfismi tra spazi vettoriali. Matrice associata a un omomorfismo. Omomorfismo associato a una matrice.
21. Immagine
Proprietà dell'immagine di un omomorfismo. Calcolo dell'immagine di un omomorfismo. Condizione di suriettività di un omomorfismo.
22. Nucleo
Proprietà del nucleo di un omomorfismo. Calcolo del nucleo di un omomorfismo. Condizione di iniettività di un omomorfismo.
23. Endomorfismi
Matrice associata a un endomorfismo. Cambiamento di base.
24. Autovalori e autovettori
Definizioni e prime proprietà. Autospazi. Polinomio caratteristico. Matrici diagonalizzabili.
25. Diagonalizzazione
Condizioni di diagonalizzabilità. Procedimento di diagonalizzazione.

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1. Equazioni lineari e numeri
Sistemi di equazioni lineari. Matrice associata a un sistema lineare. Sistemi equivalenti. Numeri naturali, interi, razionali, reali e loro proprietà. Richiami di teoria degli insiemi: inclusione di insiemi, differenza di insiemi.
2. Matrici e insiemi
Matrici a coefficienti reali. Matrici quadrate, triangolari, diagonali. Matrice trasposta di una matrice e matrici simmetriche. Richiami di teoria degli insiemi: unione e intersezione di insiemi.
3. Lo spazio vettoriale delle matrici
Addizione tra matrici e sue proprietà. Moltiplicazione di uno scalare per una matrice e sue proprietà.
4. Moltiplicazioni tra matrici
Moltiplicazione tra matrici aventi dimensioni compatibili. Proprietà della moltiplicazione: proprietà associativa e proprietà distributive. Esempi che mostrano che la moltiplicazione tra matrici non soddisfa la proprietà commutativa e la proprietà di semplificazione. Matrici e sistemi lineari.
5. Determinanti
Definizione per induzione del determinante usando lo sviluppo secondo la prima riga. Proprietà del determinante: sviluppo secondo una qualsiasi riga o colonna, determinante della matrice trasposta, determinante di una matrice triangolare. Teorema di Binet.
6. Matrice inversa
Matrice unità. Matrice inversa. Proprietà dell'inversa. Teorema di Cramer.
7. Rango di una matrice
Definizione. Proprietà del rango. Minori di una matrice. Teorema dell'orlare.
8. Sistemi di equazioni lineari
Definizioni. Teorema di Rouché-Capelli. Metodo di Rouché-Capelli per la soluzione di un sistema lineare.
9. Metodo di Gauss
10. Applicazioni del metodo di Gauss
Operazioni elementari. Calcolo del determinante. Calcolo del rango.
11. I vettori geometrici
Vettori del piano. Addizione di vettori. Moltiplicazione di un vettore per uno scalare. Vettori dello spazio. Rette e piani per l'origine. Punto medio.
12. Combinazioni lineari di vettori geometrici
Combinazioni lineari. Vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Caratterizzazione dei vettori linearmente indipendenti in V2(O) e V3(O).
13. Spazi vettoriali sui reali
Definizione di spazi vettoriali. Esempi di spazi vettoriali. Prime proprietà degli spazi vettoriali.
14. Sottospazi vettoriali
Definizione di sottospazi vettoriali. Sottospazi di V2(O) e V3(O).
15. Generatori di spazi vettoriali
Combinazioni lineari e generatori.
16. Dipendenza e indipendenza lineare
17. Basi di spazi vettoriali
Basi. Dimensione. Dimensione dell'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo. Dimensioni di sottospazi. Calcolo di dimensioni e basi.
18. Intersezione e somma di sottospazi
Intersezione di sottospazi vettoriali. Somma di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann.
19. Sottospazi affini
Le rette del piano e dello spazio. I piani dello spazio. Sottospazi affini. Insieme delle soluzioni di un sistema.
20. Omomorfismi
Omomorfismi tra spazi vettoriali. Matrice associata a un omomorfismo. Omomorfismo associato a una matrice.
21. Immagine
Proprietà dell'immagine di un omomorfismo. Calcolo dell'immagine di un omomorfismo. Condizione di suriettività di un omomorfismo.
22. Nucleo
Proprietà del nucleo di un omomorfismo. Calcolo del nucleo di un omomorfismo. Condizione di iniettività di un omomorfismo.
23. Endomorfismi
Matrice associata a un endomorfismo. Cambiamento di base.
24. Autovalori e autovettori
Definizioni e prime proprietà. Autospazi. Polinomio caratteristico. Matrici diagonalizzabili.
25. Diagonalizzazione
Condizioni di diagonalizzabilità. Procedimento di diagonalizzazione.

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1. Equazioni lineari e numeri
Sistemi di equazioni lineari. Matrice associata a un sistema lineare. Sistemi equivalenti. Numeri naturali, interi, razionali, reali e loro proprietà. Richiami di teoria degli insiemi: inclusione di insiemi, differenza di insiemi.
2. Matrici e insiemi
Matrici a coefficienti reali. Matrici quadrate, triangolari, diagonali. Matrice trasposta di una matrice e matrici simmetriche. Richiami di teoria degli insiemi: unione e intersezione di insiemi.
3. Lo spazio vettoriale delle matrici
Addizione tra matrici e sue proprietà. Moltiplicazione di uno scalare per una matrice e sue proprietà.
4. Moltiplicazioni tra matrici
Moltiplicazione tra matrici aventi dimensioni compatibili. Proprietà della moltiplicazione: proprietà associativa e proprietà distributive. Esempi che mostrano che la moltiplicazione tra matrici non soddisfa la proprietà commutativa e la proprietà di semplificazione. Matrici e sistemi lineari.
5. Determinanti
Definizione per induzione del determinante usando lo sviluppo secondo la prima riga. Proprietà del determinante: sviluppo secondo una qualsiasi riga o colonna, determinante della matrice trasposta, determinante di una matrice triangolare. Teorema di Binet.
6. Matrice inversa
Matrice unità. Matrice inversa. Proprietà dell'inversa. Teorema di Cramer.
7. Rango di una matrice
Definizione. Proprietà del rango. Minori di una matrice. Teorema dell'orlare.
8. Sistemi di equazioni lineari
Definizioni. Teorema di Rouché-Capelli. Metodo di Rouché-Capelli per la soluzione di un sistema lineare.
9. Metodo di Gauss
10. Applicazioni del metodo di Gauss
Operazioni elementari. Calcolo del determinante. Calcolo del rango.
11. I vettori geometrici
Vettori del piano. Addizione di vettori. Moltiplicazione di un vettore per uno scalare. Vettori dello spazio. Rette e piani per l'origine. Punto medio.
12. Combinazioni lineari di vettori geometrici
Combinazioni lineari. Vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Caratterizzazione dei vettori linearmente indipendenti in V2(O) e V3(O).
13. Spazi vettoriali sui reali
Definizione di spazi vettoriali. Esempi di spazi vettoriali. Prime proprietà degli spazi vettoriali.
14. Sottospazi vettoriali
Definizione di sottospazi vettoriali. Sottospazi di V2(O) e V3(O).
15. Generatori di spazi vettoriali
Combinazioni lineari e generatori.
16. Dipendenza e indipendenza lineare
17. Basi di spazi vettoriali
Basi. Dimensione. Dimensione dell'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo. Dimensioni di sottospazi. Calcolo di dimensioni e basi.
18. Intersezione e somma di sottospazi
Intersezione di sottospazi vettoriali. Somma di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann.
19. Sottospazi affini
Le rette del piano e dello spazio. I piani dello spazio. Sottospazi affini. Insieme delle soluzioni di un sistema.
20. Omomorfismi
Omomorfismi tra spazi vettoriali. Matrice associata a un omomorfismo. Omomorfismo associato a una matrice.
21. Immagine
Proprietà dell'immagine di un omomorfismo. Calcolo dell'immagine di un omomorfismo. Condizione di suriettività di un omomorfismo.
22. Nucleo
Proprietà del nucleo di un omomorfismo. Calcolo del nucleo di un omomorfismo. Condizione di iniettività di un omomorfismo.
23. Endomorfismi
Matrice associata a un endomorfismo. Cambiamento di base.
24. Autovalori e autovettori
Definizioni e prime proprietà. Autospazi. Polinomio caratteristico. Matrici diagonalizzabili.
25. Diagonalizzazione
Condizioni di diagonalizzabilità. Procedimento di diagonalizzazione.

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1. Equazioni lineari e numeri
Sistemi di equazioni lineari. Matrice associata a un sistema lineare. Sistemi equivalenti. Numeri naturali, interi, razionali, reali e loro proprietà. Richiami di teoria degli insiemi: inclusione di insiemi, differenza di insiemi.
2. Matrici e insiemi
Matrici a coefficienti reali. Matrici quadrate, triangolari, diagonali. Matrice trasposta di una matrice e matrici simmetriche. Richiami di teoria degli insiemi: unione e intersezione di insiemi.
3. Lo spazio vettoriale delle matrici
Addizione tra matrici e sue proprietà. Moltiplicazione di uno scalare per una matrice e sue proprietà.
4. Moltiplicazioni tra matrici
Moltiplicazione tra matrici aventi dimensioni compatibili. Proprietà della moltiplicazione: proprietà associativa e proprietà distributive. Esempi che mostrano che la moltiplicazione tra matrici non soddisfa la proprietà commutativa e la proprietà di semplificazione. Matrici e sistemi lineari.
5. Determinanti
Definizione per induzione del determinante usando lo sviluppo secondo la prima riga. Proprietà del determinante: sviluppo secondo una qualsiasi riga o colonna, determinante della matrice trasposta, determinante di una matrice triangolare. Teorema di Binet.
6. Matrice inversa
Matrice unità. Matrice inversa. Proprietà dell'inversa. Teorema di Cramer.
7. Rango di una matrice
Definizione. Proprietà del rango. Minori di una matrice. Teorema dell'orlare.
8. Sistemi di equazioni lineari
Definizioni. Teorema di Rouché-Capelli. Metodo di Rouché-Capelli per la soluzione di un sistema lineare.
9. Metodo di Gauss
10. Applicazioni del metodo di Gauss
Operazioni elementari. Calcolo del determinante. Calcolo del rango.
11. I vettori geometrici
Vettori del piano. Addizione di vettori. Moltiplicazione di un vettore per uno scalare. Vettori dello spazio. Rette e piani per l'origine. Punto medio.
12. Combinazioni lineari di vettori geometrici
Combinazioni lineari. Vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Caratterizzazione dei vettori linearmente indipendenti in V2(O) e V3(O).
13. Spazi vettoriali sui reali
Definizione di spazi vettoriali. Esempi di spazi vettoriali. Prime proprietà degli spazi vettoriali.
14. Sottospazi vettoriali
Definizione di sottospazi vettoriali. Sottospazi di V2(O) e V3(O).
15. Generatori di spazi vettoriali
Combinazioni lineari e generatori.
16. Dipendenza e indipendenza lineare
17. Basi di spazi vettoriali
Basi. Dimensione. Dimensione dell'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo. Dimensioni di sottospazi. Calcolo di dimensioni e basi.
18. Intersezione e somma di sottospazi
Intersezione di sottospazi vettoriali. Somma di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann.
19. Sottospazi affini
Le rette del piano e dello spazio. I piani dello spazio. Sottospazi affini. Insieme delle soluzioni di un sistema.
20. Omomorfismi
Omomorfismi tra spazi vettoriali. Matrice associata a un omomorfismo. Omomorfismo associato a una matrice.
21. Immagine
Proprietà dell'immagine di un omomorfismo. Calcolo dell'immagine di un omomorfismo. Condizione di suriettività di un omomorfismo.
22. Nucleo
Proprietà del nucleo di un omomorfismo. Calcolo del nucleo di un omomorfismo. Condizione di iniettività di un omomorfismo.
23. Endomorfismi
Matrice associata a un endomorfismo. Cambiamento di base.
24. Autovalori e autovettori
Definizioni e prime proprietà. Autospazi. Polinomio caratteristico. Matrici diagonalizzabili.
25. Diagonalizzazione
Condizioni di diagonalizzabilità. Procedimento di diagonalizzazione.

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1. Equazioni lineari e numeri
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2. Matrici e insiemi
Matrici a coefficienti reali. Matrici quadrate, triangolari, diagonali. Matrice trasposta di una matrice e matrici simmetriche. Richiami di teoria degli insiemi: unione e intersezione di insiemi.
3. Lo spazio vettoriale delle matrici
Addizione tra matrici e sue proprietà. Moltiplicazione di uno scalare per una matrice e sue proprietà.
4. Moltiplicazioni tra matrici
Moltiplicazione tra matrici aventi dimensioni compatibili. Proprietà della moltiplicazione: proprietà associativa e proprietà distributive. Esempi che mostrano che la moltiplicazione tra matrici non soddisfa la proprietà commutativa e la proprietà di semplificazione. Matrici e sistemi lineari.
5. Determinanti
Definizione per induzione del determinante usando lo sviluppo secondo la prima riga. Proprietà del determinante: sviluppo secondo una qualsiasi riga o colonna, determinante della matrice trasposta, determinante di una matrice triangolare. Teorema di Binet.
6. Matrice inversa
Matrice unità. Matrice inversa. Proprietà dell'inversa. Teorema di Cramer.
7. Rango di una matrice
Definizione. Proprietà del rango. Minori di una matrice. Teorema dell'orlare.
8. Sistemi di equazioni lineari
Definizioni. Teorema di Rouché-Capelli. Metodo di Rouché-Capelli per la soluzione di un sistema lineare.
9. Metodo di Gauss
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11. I vettori geometrici
Vettori del piano. Addizione di vettori. Moltiplicazione di un vettore per uno scalare. Vettori dello spazio. Rette e piani per l'origine. Punto medio.
12. Combinazioni lineari di vettori geometrici
Combinazioni lineari. Vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Caratterizzazione dei vettori linearmente indipendenti in V2(O) e V3(O).
13. Spazi vettoriali sui reali
Definizione di spazi vettoriali. Esempi di spazi vettoriali. Prime proprietà degli spazi vettoriali.
14. Sottospazi vettoriali
Definizione di sottospazi vettoriali. Sottospazi di V2(O) e V3(O).
15. Generatori di spazi vettoriali
Combinazioni lineari e generatori.
16. Dipendenza e indipendenza lineare
17. Basi di spazi vettoriali
Basi. Dimensione. Dimensione dell'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo. Dimensioni di sottospazi. Calcolo di dimensioni e basi.
18. Intersezione e somma di sottospazi
Intersezione di sottospazi vettoriali. Somma di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann.
19. Sottospazi affini
Le rette del piano e dello spazio. I piani dello spazio. Sottospazi affini. Insieme delle soluzioni di un sistema.
20. Omomorfismi
Omomorfismi tra spazi vettoriali. Matrice associata a un omomorfismo. Omomorfismo associato a una matrice.
21. Immagine
Proprietà dell'immagine di un omomorfismo. Calcolo dell'immagine di un omomorfismo. Condizione di suriettività di un omomorfismo.
22. Nucleo
Proprietà del nucleo di un omomorfismo. Calcolo del nucleo di un omomorfismo. Condizione di iniettività di un omomorfismo.
23. Endomorfismi
Matrice associata a un endomorfismo. Cambiamento di base.
24. Autovalori e autovettori
Definizioni e prime proprietà. Autospazi. Polinomio caratteristico. Matrici diagonalizzabili.
25. Diagonalizzazione
Condizioni di diagonalizzabilità. Procedimento di diagonalizzazione.

Testi Adottati

G. Accascina e V. Monti, Geometria*
* Il libro è disponibile gratuitamente al seguente link: http://www.dmmm.uniroma1.it/accascinamonti/geogest/Geometria.pdf


Bibliografia Di Riferimento

MATERIALE DISPONIBILE SULLA PAGINA E-LEARNING DEL CORSO, INCLUSE DISPENSE DEL DOCENTE

Modalità Erogazione

lezioni frontali, esercitazioni

Modalità Valutazione

intermedia/finale, orale/scritta

scheda docente | materiale didattico

Programma

1. Equazioni lineari e numeri
Sistemi di equazioni lineari. Matrice associata a un sistema lineare. Sistemi equivalenti. Numeri naturali, interi, razionali, reali e loro proprietà. Richiami di teoria degli insiemi: inclusione di insiemi, differenza di insiemi.
2. Matrici e insiemi
Matrici a coefficienti reali. Matrici quadrate, triangolari, diagonali. Matrice trasposta di una matrice e matrici simmetriche. Richiami di teoria degli insiemi: unione e intersezione di insiemi.
3. Lo spazio vettoriale delle matrici
Addizione tra matrici e sue proprietà. Moltiplicazione di uno scalare per una matrice e sue proprietà.
4. Moltiplicazioni tra matrici
Moltiplicazione tra matrici aventi dimensioni compatibili. Proprietà della moltiplicazione: proprietà associativa e proprietà distributive. Esempi che mostrano che la moltiplicazione tra matrici non soddisfa la proprietà commutativa e la proprietà di semplificazione. Matrici e sistemi lineari.
5. Determinanti
Definizione per induzione del determinante usando lo sviluppo secondo la prima riga. Proprietà del determinante: sviluppo secondo una qualsiasi riga o colonna, determinante della matrice trasposta, determinante di una matrice triangolare. Teorema di Binet.
6. Matrice inversa
Matrice unità. Matrice inversa. Proprietà dell'inversa. Teorema di Cramer.
7. Rango di una matrice
Definizione. Proprietà del rango. Minori di una matrice. Teorema dell'orlare.
8. Sistemi di equazioni lineari
Definizioni. Teorema di Rouché-Capelli. Metodo di Rouché-Capelli per la soluzione di un sistema lineare.
9. Metodo di Gauss
10. Applicazioni del metodo di Gauss
Operazioni elementari. Calcolo del determinante. Calcolo del rango.
11. I vettori geometrici
Vettori del piano. Addizione di vettori. Moltiplicazione di un vettore per uno scalare. Vettori dello spazio. Rette e piani per l'origine. Punto medio.
12. Combinazioni lineari di vettori geometrici
Combinazioni lineari. Vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Caratterizzazione dei vettori linearmente indipendenti in V2(O) e V3(O).
13. Spazi vettoriali sui reali
Definizione di spazi vettoriali. Esempi di spazi vettoriali. Prime proprietà degli spazi vettoriali.
14. Sottospazi vettoriali
Definizione di sottospazi vettoriali. Sottospazi di V2(O) e V3(O).
15. Generatori di spazi vettoriali
Combinazioni lineari e generatori.
16. Dipendenza e indipendenza lineare
17. Basi di spazi vettoriali
Basi. Dimensione. Dimensione dell'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo. Dimensioni di sottospazi. Calcolo di dimensioni e basi.
18. Intersezione e somma di sottospazi
Intersezione di sottospazi vettoriali. Somma di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann.
19. Sottospazi affini
Le rette del piano e dello spazio. I piani dello spazio. Sottospazi affini. Insieme delle soluzioni di un sistema.
20. Omomorfismi
Omomorfismi tra spazi vettoriali. Matrice associata a un omomorfismo. Omomorfismo associato a una matrice.
21. Immagine
Proprietà dell'immagine di un omomorfismo. Calcolo dell'immagine di un omomorfismo. Condizione di suriettività di un omomorfismo.
22. Nucleo
Proprietà del nucleo di un omomorfismo. Calcolo del nucleo di un omomorfismo. Condizione di iniettività di un omomorfismo.
23. Endomorfismi
Matrice associata a un endomorfismo. Cambiamento di base.
24. Autovalori e autovettori
Definizioni e prime proprietà. Autospazi. Polinomio caratteristico. Matrici diagonalizzabili.
25. Diagonalizzazione
Condizioni di diagonalizzabilità. Procedimento di diagonalizzazione.

Testi Adottati

G. Accascina e V. Monti, Geometria*
* Il libro è disponibile gratuitamente al seguente link: http://www.dmmm.uniroma1.it/accascinamonti/geogest/Geometria.pdf


Bibliografia Di Riferimento

MATERIALE DISPONIBILE SULLA PAGINA E-LEARNING DEL CORSO, INCLUSE DISPENSE DEL DOCENTE

Modalità Erogazione

lezioni frontali, esercitazioni

Modalità Valutazione

intermedia/finale, orale/scritta