Acquisire una buona conoscenza dei concetti e metodi relativi alla teoria della integrazione classica in più variabili e su varietà.
Curriculum
scheda docente
materiale didattico
(in tal caso indicato con [G]).
1. Integrale di Riemann in Rn
Ripasso sull’integrale di Riemann in una dimensione ([G], par. 12.1). Rettangoli in R2,
funzioni a supporto compatto, definizione di
funzione integrabile secondo Riemann in R2 (quindi Rn).
Definizione di insieme misurabile ([G], Def. 12.3), un insieme `e misurabile sse la sua
frontiera ha misura nulla ([G], Prop. 12.1). Insiemi normali rispetto agli assi cartesiani.
Una funzione continua su un insieme misurabile `e integrabile ([G], Teo. 12.1). Teorema
di riduzione di Fubini ([G], Teo. 12.2).
Formula del cambio di variabile negli integrali (schema di dimosrtrazione) Coordinate polari,
cilindriche, sferiche. Esempi: calcolo di alcuni baricentri e momenti di inerzia.
2. Curve, superfici, flussi e teorema della divergenza.
Richiami sul prodotto vettoriale. Esempi di varieta'. Curve regolari e superfici regolari. ca
Cambi di coordinate. La lunghezza di una curva. Definizione di superficie regolare ([G], Def. 15.4).
Piano tangente e versore normale. Area di una superficie ([G], Def. 15.6).
Integrali superficiali. Flusso di un campo
vettoriale attraverso una superficie. Esempi. Enunciato del teorema della divergenza.
Dimostrazione del teorema della divergenza (per domini normali risin R^2).
Il teorema del Rotore (dimostrato per domini normali in R^2).
3. Forme differenziali e lavoro.([G])
1-Forme differenziali Integrale di una 1-Forma differenziale (lavoro
di un campo vettoriale), forme chiuse ed esatte. Una forma esatta se e solo se l’integrale
su una qualsiasi curva chiusa nullo. Esempio di forma chiusa non esatta.
Insiemi semplicemente connessi. Una forma chiusa su un semplicemente connesso 'e esatta.
Insiemi stellati una
forma chiusa su un dominio stellato esatta.
4. Serie e successioni di funzioni.([G])
Serie e successioni di funzioni : convergenza puntuale, uniforme e totale.
Continuit`a del limite, integrazione e derivazione di successioni di funzioni uniformemente
convergenti. Serie di potenze: raggio di convergenza . Esempi di
serie di Taylor di funzioni elementari.
5. Serie di Fourier ([G])
Serie di Fourier, coefficienti di Fourier. Propriet`a dei coefficienti di Fourier, disuguaglianza
di Bessel, Lemma di Riemann Lebesgue Convergenza puntuale
della serie di Fourier . Convergenza uniforme nel caso di funzioni C1.
Uguaglianza di Parseval.La serie di Fourier di una funzione C1 a tratti converge alla media del salto
neipunti di discontinuita'. Linearit`a della serie di Fourier.
6. Complementi
Convoluzione e regolarizzazione (par. 3.2). Teorema di Ascoli. Formula di Stirling. Le funzioni analitiche reali.
Programma
I numeri dei paragrafi e dei teoremi si riferiscono al libro di Chierchia o al libro di Giusti(in tal caso indicato con [G]).
1. Integrale di Riemann in Rn
Ripasso sull’integrale di Riemann in una dimensione ([G], par. 12.1). Rettangoli in R2,
funzioni a supporto compatto, definizione di
funzione integrabile secondo Riemann in R2 (quindi Rn).
Definizione di insieme misurabile ([G], Def. 12.3), un insieme `e misurabile sse la sua
frontiera ha misura nulla ([G], Prop. 12.1). Insiemi normali rispetto agli assi cartesiani.
Una funzione continua su un insieme misurabile `e integrabile ([G], Teo. 12.1). Teorema
di riduzione di Fubini ([G], Teo. 12.2).
Formula del cambio di variabile negli integrali (schema di dimosrtrazione) Coordinate polari,
cilindriche, sferiche. Esempi: calcolo di alcuni baricentri e momenti di inerzia.
2. Curve, superfici, flussi e teorema della divergenza.
Richiami sul prodotto vettoriale. Esempi di varieta'. Curve regolari e superfici regolari. ca
Cambi di coordinate. La lunghezza di una curva. Definizione di superficie regolare ([G], Def. 15.4).
Piano tangente e versore normale. Area di una superficie ([G], Def. 15.6).
Integrali superficiali. Flusso di un campo
vettoriale attraverso una superficie. Esempi. Enunciato del teorema della divergenza.
Dimostrazione del teorema della divergenza (per domini normali risin R^2).
Il teorema del Rotore (dimostrato per domini normali in R^2).
3. Forme differenziali e lavoro.([G])
1-Forme differenziali Integrale di una 1-Forma differenziale (lavoro
di un campo vettoriale), forme chiuse ed esatte. Una forma esatta se e solo se l’integrale
su una qualsiasi curva chiusa nullo. Esempio di forma chiusa non esatta.
Insiemi semplicemente connessi. Una forma chiusa su un semplicemente connesso 'e esatta.
Insiemi stellati una
forma chiusa su un dominio stellato esatta.
4. Serie e successioni di funzioni.([G])
Serie e successioni di funzioni : convergenza puntuale, uniforme e totale.
Continuit`a del limite, integrazione e derivazione di successioni di funzioni uniformemente
convergenti. Serie di potenze: raggio di convergenza . Esempi di
serie di Taylor di funzioni elementari.
5. Serie di Fourier ([G])
Serie di Fourier, coefficienti di Fourier. Propriet`a dei coefficienti di Fourier, disuguaglianza
di Bessel, Lemma di Riemann Lebesgue Convergenza puntuale
della serie di Fourier . Convergenza uniforme nel caso di funzioni C1.
Uguaglianza di Parseval.La serie di Fourier di una funzione C1 a tratti converge alla media del salto
neipunti di discontinuita'. Linearit`a della serie di Fourier.
6. Complementi
Convoluzione e regolarizzazione (par. 3.2). Teorema di Ascoli. Formula di Stirling. Le funzioni analitiche reali.
Testi Adottati
Analisi Matematica II, Giusti- Analisi Matematica II, ChierchiaBibliografia Di Riferimento
Analisi Matematica II, Giusti- Analisi Matematica II, ChierchiaModalità Erogazione
4 ore di didattica frontale 2 di esercitazione due di tutorato a settimanaModalità Frequenza
la frequenza del corso e' caldamente consigliataModalità Valutazione
La prova scritta verte sugli argomenti svolti in classe e tende a verificare la capacita' di risolvere esercizi. Tale prova consiste nello svolgimento di 3-4 esercizi sui temi discussi a lezione. La prova orale serve a verificare la capacita' di presentare e dimostrare i teoremi svolti in classe e applicarli in casi specifici.
scheda docente
materiale didattico
(in tal caso indicato con [G]).
1. Integrale di Riemann in Rn
Ripasso sull’integrale di Riemann in una dimensione ([G], par. 12.1). Rettangoli in R2,
funzioni a supporto compatto, definizione di
funzione integrabile secondo Riemann in R2 (quindi Rn).
Definizione di insieme misurabile ([G], Def. 12.3), un insieme `e misurabile sse la sua
frontiera ha misura nulla ([G], Prop. 12.1). Insiemi normali rispetto agli assi cartesiani.
Una funzione continua su un insieme misurabile `e integrabile ([G], Teo. 12.1). Teorema
di riduzione di Fubini ([G], Teo. 12.2).
Formula del cambio di variabile negli integrali (schema di dimosrtrazione) Coordinate polari,
cilindriche, sferiche. Esempi: calcolo di alcuni baricentri e momenti di inerzia.
2. Curve, superfici, flussi e teorema della divergenza.
Richiami sul prodotto vettoriale. Esempi di varieta'. Curve regolari e superfici regolari. ca
Cambi di coordinate. La lunghezza di una curva. Definizione di superficie regolare ([G], Def. 15.4).
Piano tangente e versore normale. Area di una superficie ([G], Def. 15.6).
Integrali superficiali. Flusso di un campo
vettoriale attraverso una superficie. Esempi. Enunciato del teorema della divergenza.
Dimostrazione del teorema della divergenza (per domini normali risin R^2).
Il teorema del Rotore (dimostrato per domini normali in R^2).
3. Forme differenziali e lavoro.([G])
1-Forme differenziali Integrale di una 1-Forma differenziale (lavoro
di un campo vettoriale), forme chiuse ed esatte. Una forma esatta se e solo se l’integrale
su una qualsiasi curva chiusa nullo. Esempio di forma chiusa non esatta.
Insiemi semplicemente connessi. Una forma chiusa su un semplicemente connesso 'e esatta.
Insiemi stellati una
forma chiusa su un dominio stellato esatta.
4. Serie e successioni di funzioni.([G])
Serie e successioni di funzioni : convergenza puntuale, uniforme e totale.
Continuit`a del limite, integrazione e derivazione di successioni di funzioni uniformemente
convergenti. Serie di potenze: raggio di convergenza . Esempi di
serie di Taylor di funzioni elementari.
5. Serie di Fourier ([G])
Serie di Fourier, coefficienti di Fourier. Propriet`a dei coefficienti di Fourier, disuguaglianza
di Bessel, Lemma di Riemann Lebesgue Convergenza puntuale
della serie di Fourier . Convergenza uniforme nel caso di funzioni C1.
Uguaglianza di Parseval.La serie di Fourier di una funzione C1 a tratti converge alla media del salto
neipunti di discontinuita'. Linearit`a della serie di Fourier.
6. Complementi
Convoluzione e regolarizzazione (par. 3.2). Teorema di Ascoli. Formula di Stirling. Le funzioni analitiche reali.
Programma
I numeri dei paragrafi e dei teoremi si riferiscono al libro di Chierchia o al libro di Giusti(in tal caso indicato con [G]).
1. Integrale di Riemann in Rn
Ripasso sull’integrale di Riemann in una dimensione ([G], par. 12.1). Rettangoli in R2,
funzioni a supporto compatto, definizione di
funzione integrabile secondo Riemann in R2 (quindi Rn).
Definizione di insieme misurabile ([G], Def. 12.3), un insieme `e misurabile sse la sua
frontiera ha misura nulla ([G], Prop. 12.1). Insiemi normali rispetto agli assi cartesiani.
Una funzione continua su un insieme misurabile `e integrabile ([G], Teo. 12.1). Teorema
di riduzione di Fubini ([G], Teo. 12.2).
Formula del cambio di variabile negli integrali (schema di dimosrtrazione) Coordinate polari,
cilindriche, sferiche. Esempi: calcolo di alcuni baricentri e momenti di inerzia.
2. Curve, superfici, flussi e teorema della divergenza.
Richiami sul prodotto vettoriale. Esempi di varieta'. Curve regolari e superfici regolari. ca
Cambi di coordinate. La lunghezza di una curva. Definizione di superficie regolare ([G], Def. 15.4).
Piano tangente e versore normale. Area di una superficie ([G], Def. 15.6).
Integrali superficiali. Flusso di un campo
vettoriale attraverso una superficie. Esempi. Enunciato del teorema della divergenza.
Dimostrazione del teorema della divergenza (per domini normali risin R^2).
Il teorema del Rotore (dimostrato per domini normali in R^2).
3. Forme differenziali e lavoro.([G])
1-Forme differenziali Integrale di una 1-Forma differenziale (lavoro
di un campo vettoriale), forme chiuse ed esatte. Una forma esatta se e solo se l’integrale
su una qualsiasi curva chiusa nullo. Esempio di forma chiusa non esatta.
Insiemi semplicemente connessi. Una forma chiusa su un semplicemente connesso 'e esatta.
Insiemi stellati una
forma chiusa su un dominio stellato esatta.
4. Serie e successioni di funzioni.([G])
Serie e successioni di funzioni : convergenza puntuale, uniforme e totale.
Continuit`a del limite, integrazione e derivazione di successioni di funzioni uniformemente
convergenti. Serie di potenze: raggio di convergenza . Esempi di
serie di Taylor di funzioni elementari.
5. Serie di Fourier ([G])
Serie di Fourier, coefficienti di Fourier. Propriet`a dei coefficienti di Fourier, disuguaglianza
di Bessel, Lemma di Riemann Lebesgue Convergenza puntuale
della serie di Fourier . Convergenza uniforme nel caso di funzioni C1.
Uguaglianza di Parseval.La serie di Fourier di una funzione C1 a tratti converge alla media del salto
neipunti di discontinuita'. Linearit`a della serie di Fourier.
6. Complementi
Convoluzione e regolarizzazione (par. 3.2). Teorema di Ascoli. Formula di Stirling. Le funzioni analitiche reali.
Testi Adottati
Analisi Matematica II, Giusti- Analisi Matematica II, ChierchiaBibliografia Di Riferimento
Analisi Matematica II, Giusti- Analisi Matematica II, ChierchiaModalità Erogazione
4 ore di didattica frontale 2 di esercitazione due di tutorato a settimanaModalità Frequenza
la frequenza del corso e' caldamente consigliataModalità Valutazione
La prova scritta verte sugli argomenti svolti in classe e tende a verificare la capacita' di risolvere esercizi. Tale prova consiste nello svolgimento di 3-4 esercizi sui temi discussi a lezione. La prova orale serve a verificare la capacita' di presentare e dimostrare i teoremi svolti in classe e applicarli in casi specifici.