Acquisire una buona conoscenza degli aspetti principali della probabilità discreta: spazi di probabilità discreti, prove ripetute, variabili aleatorie, distribuzioni di probabilità, alcuni teoremi limite e i risultati più semplici per catene di Markov finite.
Curriculum
scheda docente
materiale didattico
combinazioni, esempi.
2. Assiomi della probabilit`a. Spazi campionari, eventi, assiomi della probabilit`a. Eventi equiprobabili e altri esempi.
3. Probabilit`a condizionata e indipendenza. Probabilit`a condizionata, formula di Bayes, eventi indipendenti.
4. Variabili aleatorie discrete. Variabili di Bernoulli, binomiali e di Poisson.
Processo di Poisson. Altre distribuzioni discrete: geometrica, ipergeometrica, binomiale negativa. Valore atteso e varianza di una variabile discreta. Esempi.
5. Variabili aleatorie continue. Densit`a di probabilit`a e funzione di distribuzione. Distribuzione uniforme su un intervallo, esponenziale, gamma, gaussiana, weibull, Cauchy. Legame tra distribuzioni gamma e processo di Poisson.
Valore atteso e varianza per variabili continue. Metodo della trasformazione per
la simulazione di variabili aleatorie continue.
6. Distribuzioni congiunte e variabili aleatorie indipendenti. Distribuzioni
congiunte, variabili aleatorie indipendenti. Densit`a della somma di due variabili indipendenti. Prodotto di convoluzione per distribuzioni normali, gamma, Poisson.
Massimi e minimi di variabili indipendenti.
7. Teoremi limite. Disuguaglianze di Markov e Chebyshev. Legge dei grandi
numeri debole. Funzione generatrice dei momenti e cenni di dimostrazione del
Teorema del limite centrale.
F. Caravenna, P. Dai Pra, Probabilit`a. Springer, (2013).
Programma
1. Analisi Combinatoria. Introduzione al calcolo combinatorio: permutazioni,combinazioni, esempi.
2. Assiomi della probabilit`a. Spazi campionari, eventi, assiomi della probabilit`a. Eventi equiprobabili e altri esempi.
3. Probabilit`a condizionata e indipendenza. Probabilit`a condizionata, formula di Bayes, eventi indipendenti.
4. Variabili aleatorie discrete. Variabili di Bernoulli, binomiali e di Poisson.
Processo di Poisson. Altre distribuzioni discrete: geometrica, ipergeometrica, binomiale negativa. Valore atteso e varianza di una variabile discreta. Esempi.
5. Variabili aleatorie continue. Densit`a di probabilit`a e funzione di distribuzione. Distribuzione uniforme su un intervallo, esponenziale, gamma, gaussiana, weibull, Cauchy. Legame tra distribuzioni gamma e processo di Poisson.
Valore atteso e varianza per variabili continue. Metodo della trasformazione per
la simulazione di variabili aleatorie continue.
6. Distribuzioni congiunte e variabili aleatorie indipendenti. Distribuzioni
congiunte, variabili aleatorie indipendenti. Densit`a della somma di due variabili indipendenti. Prodotto di convoluzione per distribuzioni normali, gamma, Poisson.
Massimi e minimi di variabili indipendenti.
7. Teoremi limite. Disuguaglianze di Markov e Chebyshev. Legge dei grandi
numeri debole. Funzione generatrice dei momenti e cenni di dimostrazione del
Teorema del limite centrale.
Testi Adottati
Sheldon M. Ross, Calcolo delle Probabilit`a. Apogeo, (2007)F. Caravenna, P. Dai Pra, Probabilit`a. Springer, (2013).
Bibliografia Di Riferimento
Sheldon M. Ross, Calcolo delle Probabilit`a. Apogeo, (2007) F. Caravenna, P. Dai Pra, Probabilit`a. Springer, (2013).Modalità Frequenza
6 ore settimanaliModalità Valutazione
Prova scritta e colloquio orale
scheda docente
materiale didattico
combinazioni, esempi.
2. Assiomi della probabilit`a. Spazi campionari, eventi, assiomi della probabilit`a. Eventi equiprobabili e altri esempi.
3. Probabilit`a condizionata e indipendenza. Probabilit`a condizionata, formula di Bayes, eventi indipendenti.
4. Variabili aleatorie discrete. Variabili di Bernoulli, binomiali e di Poisson.
Processo di Poisson. Altre distribuzioni discrete: geometrica, ipergeometrica, binomiale negativa. Valore atteso e varianza di una variabile discreta. Esempi.
5. Variabili aleatorie continue. Densit`a di probabilit`a e funzione di distribuzione. Distribuzione uniforme su un intervallo, esponenziale, gamma, gaussiana, weibull, Cauchy. Legame tra distribuzioni gamma e processo di Poisson.
Valore atteso e varianza per variabili continue. Metodo della trasformazione per
la simulazione di variabili aleatorie continue.
6. Distribuzioni congiunte e variabili aleatorie indipendenti. Distribuzioni
congiunte, variabili aleatorie indipendenti. Densit`a della somma di due variabili indipendenti. Prodotto di convoluzione per distribuzioni normali, gamma, Poisson.
Massimi e minimi di variabili indipendenti.
7. Teoremi limite. Disuguaglianze di Markov e Chebyshev. Legge dei grandi
numeri debole. Funzione generatrice dei momenti e cenni di dimostrazione del
Teorema del limite centrale.
F. Caravenna, P. Dai Pra, Probabilit`a. Springer, (2013).
Programma
1. Analisi Combinatoria. Introduzione al calcolo combinatorio: permutazioni,combinazioni, esempi.
2. Assiomi della probabilit`a. Spazi campionari, eventi, assiomi della probabilit`a. Eventi equiprobabili e altri esempi.
3. Probabilit`a condizionata e indipendenza. Probabilit`a condizionata, formula di Bayes, eventi indipendenti.
4. Variabili aleatorie discrete. Variabili di Bernoulli, binomiali e di Poisson.
Processo di Poisson. Altre distribuzioni discrete: geometrica, ipergeometrica, binomiale negativa. Valore atteso e varianza di una variabile discreta. Esempi.
5. Variabili aleatorie continue. Densit`a di probabilit`a e funzione di distribuzione. Distribuzione uniforme su un intervallo, esponenziale, gamma, gaussiana, weibull, Cauchy. Legame tra distribuzioni gamma e processo di Poisson.
Valore atteso e varianza per variabili continue. Metodo della trasformazione per
la simulazione di variabili aleatorie continue.
6. Distribuzioni congiunte e variabili aleatorie indipendenti. Distribuzioni
congiunte, variabili aleatorie indipendenti. Densit`a della somma di due variabili indipendenti. Prodotto di convoluzione per distribuzioni normali, gamma, Poisson.
Massimi e minimi di variabili indipendenti.
7. Teoremi limite. Disuguaglianze di Markov e Chebyshev. Legge dei grandi
numeri debole. Funzione generatrice dei momenti e cenni di dimostrazione del
Teorema del limite centrale.
Testi Adottati
Sheldon M. Ross, Calcolo delle Probabilit`a. Apogeo, (2007)F. Caravenna, P. Dai Pra, Probabilit`a. Springer, (2013).
Bibliografia Di Riferimento
Sheldon M. Ross, Calcolo delle Probabilit`a. Apogeo, (2007) F. Caravenna, P. Dai Pra, Probabilit`a. Springer, (2013).Modalità Frequenza
6 ore settimanaliModalità Valutazione
Prova scritta e colloquio orale