Programma

Numeri complessi e loro rappresentazione geometrica.
Esponenziale complessa.
Funzioni complesse a variabile complessa: continuità e differenziabilità.
Funzione olomorfe. Equazioni di Cauchy-Riemann.
Sucessioni e serie complesse.
Serie di potenze a valori complessi. Il teorema di Abel e la formula di Hadamard.
Formula di Taylor per serie di potenze complesse.
L'esponenziale e le funzioni trigonometriche come funzioni analitiche. Proprieta' basiche.
Il logaritmo complesso.
L'anello delle serie di potenze formali a coefficienti complessi.
Funzioni analitiche.
Teorema della funzione inversa.
Potenze complesse.
La serie binomiale.
Forma canonica di una funzione analitica.
Teorema della funzione aperta.
Criterio di invertibilità.
Principio del massimo modulo locale.
Il teorema fondamentale dell'algebra.
Curve parametrizzate.
Una funzione olomorfa con derivata nulla è costante.
Il luogo degli zeri di una funzione analitica non costante è discreto.
Principio del massimo modulo globale.
Integrali su cammini.
Una funzione continua ammette in un aperto connesso ammette una primitiva se e solo se il suo l'integrale lungo una curva chiusa si annulla.
Integrazioni di serie di funzioni uniformemente convergenti.
Primitiva locale di una funzione olomorfa.
Il teorema di Goursat.
Forma omotopica del Teorema di Cauchy.
Primitiva globale di una funzione olomorfa.
Applicazioni al logaritmo.
La formula integrale di Cauchy.
Formula di Cauchy per lo svilupo in serie e applicazioni: una funzione olomorfa e' analitica.
Il teorema di Liouville e il teorema fondamentalle dell'algebra.
Formula integrale per le derivate.
Il numero di avvolgimenti di una curva rispetto a un punto.
La formula globale di Cauchy.

Il primo gruppo di omologia di un aperto.
La formula di Cauchy per l'invarianza omologica.
Applicazioni del teorema di Cauchy: limite uniforme su compatti di funzione olomorfe è olomorfo.
Serie di Laurent.
Svilupo di una funzione olomorfa in una corona circolare in serie di Laurent.
Singolarità isolate e il campo delle funzione meromorfe.
Teorema di classificazione delle singolarità isolate e teorema dei residui.
La derivata logaritmica e il principio dell'argomento.
Calcolo dei residui.
Il teorema della mappa di Riemann e il teorema di uniformizzazione (senza dimostrazione).
La sfera di Riemann come compattificazione del piano complesso.
Il gruppo delle trasformazioni lineari della retta proiettiva e le trasformazione lineare fratte da loro indotte.
Il gruppo degli automorfismi del piano complesso.
Il lemma di Schwarz e il gruppo degli automorfismi del disco unitario.
Il logaritmo come funzione analitica globale.
La radice n-esima come funzione analitica globale.
Il fascio dei germi di funzioni analitiche.
La superficie di Riemann associata a una funzione analitica globale.

Testi Adottati

L. V. Ahlfors: Complex Analysis, McGraw-Hill.
S. Lang: Complex analysis, GTM 103.

Modalità Frequenza

In classe

Modalità Valutazione

Esame scritto con esercizi e esame orale sulla teoria.

Programma

Numeri complessi e loro rappresentazione geometrica.
Esponenziale complessa.
Funzioni complesse a variabile complessa: continuità e differenziabilità.
Funzione olomorfe. Equazioni di Cauchy-Riemann.
Sucessioni e serie complesse.
Serie di potenze a valori complessi. Il teorema di Abel e la formula di Hadamard.
Formula di Taylor per serie di potenze complesse.
L'esponenziale e le funzioni trigonometriche come funzioni analitiche. Proprieta' basiche.
Il logaritmo complesso.
L'anello delle serie di potenze formali a coefficienti complessi.
Funzioni analitiche.
Teorema della funzione inversa.
Potenze complesse.
La serie binomiale.
Forma canonica di una funzione analitica.
Teorema della funzione aperta.
Criterio di invertibilità.
Principio del massimo modulo locale.
Il teorema fondamentale dell'algebra.
Curve parametrizzate.
Una funzione olomorfa con derivata nulla è costante.
Il luogo degli zeri di una funzione analitica non costante è discreto.
Principio del massimo modulo globale.
Integrali su cammini.
Una funzione continua ammette in un aperto connesso ammette una primitiva se e solo se il suo l'integrale lungo una curva chiusa si annulla.
Integrazioni di serie di funzioni uniformemente convergenti.
Primitiva locale di una funzione olomorfa.
Il teorema di Goursat.
Forma omotopica del Teorema di Cauchy.
Primitiva globale di una funzione olomorfa.
Applicazioni al logaritmo.
La formula integrale di Cauchy.
Formula di Cauchy per lo svilupo in serie e applicazioni: una funzione olomorfa e' analitica.
Il teorema di Liouville e il teorema fondamentalle dell'algebra.
Formula integrale per le derivate.
Il numero di avvolgimenti di una curva rispetto a un punto.
La formula globale di Cauchy.

Il primo gruppo di omologia di un aperto.
La formula di Cauchy per l'invarianza omologica.
Applicazioni del teorema di Cauchy: limite uniforme su compatti di funzione olomorfe è olomorfo.
Serie di Laurent.
Svilupo di una funzione olomorfa in una corona circolare in serie di Laurent.
Singolarità isolate e il campo delle funzione meromorfe.
Teorema di classificazione delle singolarità isolate e teorema dei residui.
La derivata logaritmica e il principio dell'argomento.
Calcolo dei residui.
Il teorema della mappa di Riemann e il teorema di uniformizzazione (senza dimostrazione).
La sfera di Riemann come compattificazione del piano complesso.
Il gruppo delle trasformazioni lineari della retta proiettiva e le trasformazione lineare fratte da loro indotte.
Il gruppo degli automorfismi del piano complesso.
Il lemma di Schwarz e il gruppo degli automorfismi del disco unitario.
Il logaritmo come funzione analitica globale.
La radice n-esima come funzione analitica globale.
Il fascio dei germi di funzioni analitiche.
La superficie di Riemann associata a una funzione analitica globale.

Testi Adottati

L. V. Ahlfors: Complex Analysis, McGraw-Hill.
S. Lang: Complex analysis, GTM 103.

Modalità Frequenza

In classe

Modalità Valutazione

Esame scritto con esercizi e esame orale sulla teoria.