Acquisire una buona conoscenza della teoria della integrazione astratta. Introduzione all'analisi funzionale: spazi di Banach e di Hilbert.
Curriculum
scheda docente
materiale didattico
Richiami della teoria dell’integrazione secondo Riemann. Il concetto di misurabilità. Funzioni semplici. Proprietà elementari delle misure. Aritmetica in [0,∞]. Integrazione di funzioni positive. Integrazione di funzioni complesse. Importanza degli insiemi di misura nulla.
2. Misure di Borel positive
Spazi vettoriali. Preliminari topologici. Teorema della rappresentazione di Riesz. Proprietà di regolarità delle misure di Borel. Misura di Lebesgue. Proprietà di continuità delle funzioni misurabili.
3. Spazi L^p
Disuguaglianze e funzioni convesse. Gli spazi L^p. Approssimazione mediante funzioni continue.
4. Teoria elementare degli spazi di Hilbert
Prodotti interni e funzionali lineari. Duale di L^2
5. Integrazione su spazi prodotto
Misurabilità sui prodotti cartesiani. Misure prodotto. Il teorema di Fubini.
6. Misure complesse
Variazione totale. Continuità assoluta. Teorema di Radon-Nykodym. Funzionali lineari limitati su L^p. Il teorema della rappresentazione di Riesz.
Fruizione: 20402085 AM310 - ISTITUZIONI DI ANALISI SUPERIORE in Matematica L-35 N0 ESPOSITO PIERPAOLO
Programma
1. Integrazione astrattaRichiami della teoria dell’integrazione secondo Riemann. Il concetto di misurabilità. Funzioni semplici. Proprietà elementari delle misure. Aritmetica in [0,∞]. Integrazione di funzioni positive. Integrazione di funzioni complesse. Importanza degli insiemi di misura nulla.
2. Misure di Borel positive
Spazi vettoriali. Preliminari topologici. Teorema della rappresentazione di Riesz. Proprietà di regolarità delle misure di Borel. Misura di Lebesgue. Proprietà di continuità delle funzioni misurabili.
3. Spazi L^p
Disuguaglianze e funzioni convesse. Gli spazi L^p. Approssimazione mediante funzioni continue.
4. Teoria elementare degli spazi di Hilbert
Prodotti interni e funzionali lineari. Duale di L^2
5. Integrazione su spazi prodotto
Misurabilità sui prodotti cartesiani. Misure prodotto. Il teorema di Fubini.
6. Misure complesse
Variazione totale. Continuità assoluta. Teorema di Radon-Nykodym. Funzionali lineari limitati su L^p. Il teorema della rappresentazione di Riesz.
Testi Adottati
"Analisi reale e complessa”, W. Rudin. Bollati Boringhieri.Modalità Erogazione
Il corso prevede lezioni frontali ed esercitazioni. Non è necessaria ma fortemente consigliata la frequenza.Modalità Valutazione
L'esame scritto dura tre ore e valuta la capacità dello studente di svolgere esercizi anche di natura teorica. L'esame orale ha durata variabile e accerta la comprensione delle tematiche sviluppate a lezione. Lo studente può essere esonerato dall'esame scritto se supera una prova scritta intermedia sulla prima parte del corso ed una finale sulla seconda parte del corso, ciascuna della durata di tre ore.
scheda docente
materiale didattico
Richiami della teoria dell’integrazione secondo Riemann. Il concetto di misurabilità. Funzioni semplici. Proprietà elementari delle misure. Aritmetica in [0,∞]. Integrazione di funzioni positive. Integrazione di funzioni complesse. Importanza degli insiemi di misura nulla.
2. Misure di Borel positive
Spazi vettoriali. Preliminari topologici. Teorema della rappresentazione di Riesz. Proprietà di regolarità delle misure di Borel. Misura di Lebesgue. Proprietà di continuità delle funzioni misurabili.
3. Spazi L^p
Disuguaglianze e funzioni convesse. Gli spazi L^p. Approssimazione mediante funzioni continue.
4. Teoria elementare degli spazi di Hilbert
Prodotti interni e funzionali lineari. Duale di L^2
5. Integrazione su spazi prodotto
Misurabilità sui prodotti cartesiani. Misure prodotto. Il teorema di Fubini.
6. Misure complesse
Variazione totale. Continuità assoluta. Teorema di Radon-Nykodym. Funzionali lineari limitati su L^p. Il teorema della rappresentazione di Riesz.
Fruizione: 20402085 AM310 - ISTITUZIONI DI ANALISI SUPERIORE in Matematica L-35 N0 ESPOSITO PIERPAOLO
Programma
1. Integrazione astrattaRichiami della teoria dell’integrazione secondo Riemann. Il concetto di misurabilità. Funzioni semplici. Proprietà elementari delle misure. Aritmetica in [0,∞]. Integrazione di funzioni positive. Integrazione di funzioni complesse. Importanza degli insiemi di misura nulla.
2. Misure di Borel positive
Spazi vettoriali. Preliminari topologici. Teorema della rappresentazione di Riesz. Proprietà di regolarità delle misure di Borel. Misura di Lebesgue. Proprietà di continuità delle funzioni misurabili.
3. Spazi L^p
Disuguaglianze e funzioni convesse. Gli spazi L^p. Approssimazione mediante funzioni continue.
4. Teoria elementare degli spazi di Hilbert
Prodotti interni e funzionali lineari. Duale di L^2
5. Integrazione su spazi prodotto
Misurabilità sui prodotti cartesiani. Misure prodotto. Il teorema di Fubini.
6. Misure complesse
Variazione totale. Continuità assoluta. Teorema di Radon-Nykodym. Funzionali lineari limitati su L^p. Il teorema della rappresentazione di Riesz.
Testi Adottati
"Analisi reale e complessa”, W. Rudin. Bollati Boringhieri.Modalità Erogazione
Il corso prevede lezioni frontali ed esercitazioni. Non è necessaria ma fortemente consigliata la frequenza.Modalità Valutazione
L'esame scritto dura tre ore e valuta la capacità dello studente di svolgere esercizi anche di natura teorica. L'esame orale ha durata variabile e accerta la comprensione delle tematiche sviluppate a lezione. Lo studente può essere esonerato dall'esame scritto se supera una prova scritta intermedia sulla prima parte del corso ed una finale sulla seconda parte del corso, ciascuna della durata di tre ore.
scheda docente
materiale didattico
Richiami della teoria dell’integrazione secondo Riemann. Il concetto di misurabilità. Funzioni semplici. Proprietà elementari delle misure. Aritmetica in [0,∞]. Integrazione di funzioni positive. Integrazione di funzioni complesse. Importanza degli insiemi di misura nulla.
2. Misure di Borel positive
Spazi vettoriali. Preliminari topologici. Teorema della rappresentazione di Riesz. Proprietà di regolarità delle misure di Borel. Misura di Lebesgue. Proprietà di continuità delle funzioni misurabili.
3. Spazi L^p
Disuguaglianze e funzioni convesse. Gli spazi L^p. Approssimazione mediante funzioni continue.
4. Teoria elementare degli spazi di Hilbert
Prodotti interni e funzionali lineari. Duale di L^2
5. Integrazione su spazi prodotto
Misurabilità sui prodotti cartesiani. Misure prodotto. Il teorema di Fubini.
6. Misure complesse
Variazione totale. Continuità assoluta. Teorema di Radon-Nykodym. Funzionali lineari limitati su L^p. Il teorema della rappresentazione di Riesz.
Fruizione: 20402085 AM310 - ISTITUZIONI DI ANALISI SUPERIORE in Matematica L-35 N0 ESPOSITO PIERPAOLO
Programma
1. Integrazione astrattaRichiami della teoria dell’integrazione secondo Riemann. Il concetto di misurabilità. Funzioni semplici. Proprietà elementari delle misure. Aritmetica in [0,∞]. Integrazione di funzioni positive. Integrazione di funzioni complesse. Importanza degli insiemi di misura nulla.
2. Misure di Borel positive
Spazi vettoriali. Preliminari topologici. Teorema della rappresentazione di Riesz. Proprietà di regolarità delle misure di Borel. Misura di Lebesgue. Proprietà di continuità delle funzioni misurabili.
3. Spazi L^p
Disuguaglianze e funzioni convesse. Gli spazi L^p. Approssimazione mediante funzioni continue.
4. Teoria elementare degli spazi di Hilbert
Prodotti interni e funzionali lineari. Duale di L^2
5. Integrazione su spazi prodotto
Misurabilità sui prodotti cartesiani. Misure prodotto. Il teorema di Fubini.
6. Misure complesse
Variazione totale. Continuità assoluta. Teorema di Radon-Nykodym. Funzionali lineari limitati su L^p. Il teorema della rappresentazione di Riesz.
Testi Adottati
"Analisi reale e complessa”, W. Rudin. Bollati Boringhieri.Modalità Erogazione
Il corso prevede lezioni frontali ed esercitazioni. Non è necessaria ma fortemente consigliata la frequenza.Modalità Valutazione
L'esame scritto dura tre ore e valuta la capacità dello studente di svolgere esercizi anche di natura teorica. L'esame orale ha durata variabile e accerta la comprensione delle tematiche sviluppate a lezione. Lo studente può essere esonerato dall'esame scritto se supera una prova scritta intermedia sulla prima parte del corso ed una finale sulla seconda parte del corso, ciascuna della durata di tre ore.