Acquisire una solida preparazione negli aspetti principali della teoria delle probabilità: costruzione di misure di probabilità su spazi misurabili, legge 0/1, indipendenza, aspettazioni condizionate, variabili casuali, funzioni caratteristiche, teorema del limite centrale, processi di ramificazione e alcuni risultati fondamentali nella teoria delle martingale a tempo discreto.
Curriculum
scheda docente
materiale didattico
Introduzione
alla teoria della misura. Spazi di misura. Eventi. Lemmi di estensione e unicita' della
misura. Misure di probabilita'.
Lemma di Borel–Cantelli 1. Variabili aleatorie. Misurabilita’.
Legge e funzione di distribuzione di una variabile aleatoria. Indipendenza.
Lemma di Borel–Cantelli 2. Legge 0–1 per variabili aleatorie indipendenti.
Integrazione, valore atteso. Cenni sulla teoria dell’integrazione. Definizione
di integrale. Teorema di convergenza monotona. Aspettazione di variabili aleatorie.
Teoremi di passaggio al limite.
Disuguaglianza di Jensen. Norme Lp. Disuguaglianze
di Hoelder e Cauchy-Schwarz. Disuguaglianza di Markov. Esempi di legge debole e legge
forte dei grandi numeri. Spazi di misura prodotto. Teorema di Fubini. Leggi congiunte.
Attesa condizionata, martingale e teoremi di convergenza. Attesa condizionata
rispetto a una sotto σ–algebra. Teorema di Kolmogorov su esistenza e unicita'
dell’aspettazione condizionata. Densita' di probabilita' condizionata. Filtrazioni. Processi
stocastici a tempo discreto.
Martingale. Gambilng. Tempi d’arresto. Teorema di
Doob sullo “optional stopping”. Applicazioni al calcolo del valore atteso di tempi di
arresto. Tempi di uscita da un intervallo per passeggiate aleatorie. Teorema di convergenza
per martingale limitate in L^1. Teorema di convergenza per martingale limitate in L^2.
Esempi e problemi con martingale. Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov.
Convergenza in distribuzione e teorema del limite centrale. Funzioni
caratteristiche. Teorema di inversione per funzioni caratteristiche. Convergenza in
distribuzione. Teorema di equivalenza tra convergenza in distribuzione e convergenza
di funzioni caratteristiche. Teorema del limite centrale. Diversi modi di convergenza
per variabili aleatorie. Esempi e controesempi.
R. Durrett, Probability: Theory and Examples. Thomson, (2000).
Mutuazione: 20410447 CP410 - TEORIA DELLA PROBABILITÀ in Matematica LM-40 CAPUTO PIETRO, CANDELLERO ELISABETTA
Programma
Un esempio introduttivo: il processo di ramificazione.Introduzione
alla teoria della misura. Spazi di misura. Eventi. Lemmi di estensione e unicita' della
misura. Misure di probabilita'.
Lemma di Borel–Cantelli 1. Variabili aleatorie. Misurabilita’.
Legge e funzione di distribuzione di una variabile aleatoria. Indipendenza.
Lemma di Borel–Cantelli 2. Legge 0–1 per variabili aleatorie indipendenti.
Integrazione, valore atteso. Cenni sulla teoria dell’integrazione. Definizione
di integrale. Teorema di convergenza monotona. Aspettazione di variabili aleatorie.
Teoremi di passaggio al limite.
Disuguaglianza di Jensen. Norme Lp. Disuguaglianze
di Hoelder e Cauchy-Schwarz. Disuguaglianza di Markov. Esempi di legge debole e legge
forte dei grandi numeri. Spazi di misura prodotto. Teorema di Fubini. Leggi congiunte.
Attesa condizionata, martingale e teoremi di convergenza. Attesa condizionata
rispetto a una sotto σ–algebra. Teorema di Kolmogorov su esistenza e unicita'
dell’aspettazione condizionata. Densita' di probabilita' condizionata. Filtrazioni. Processi
stocastici a tempo discreto.
Martingale. Gambilng. Tempi d’arresto. Teorema di
Doob sullo “optional stopping”. Applicazioni al calcolo del valore atteso di tempi di
arresto. Tempi di uscita da un intervallo per passeggiate aleatorie. Teorema di convergenza
per martingale limitate in L^1. Teorema di convergenza per martingale limitate in L^2.
Esempi e problemi con martingale. Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov.
Convergenza in distribuzione e teorema del limite centrale. Funzioni
caratteristiche. Teorema di inversione per funzioni caratteristiche. Convergenza in
distribuzione. Teorema di equivalenza tra convergenza in distribuzione e convergenza
di funzioni caratteristiche. Teorema del limite centrale. Diversi modi di convergenza
per variabili aleatorie. Esempi e controesempi.
Testi Adottati
D. Williams, Probability with martingales. Cambridge University Press, (1991).R. Durrett, Probability: Theory and Examples. Thomson, (2000).
Modalità Erogazione
Lezione frontale, esercitazione, esercizi svolti disponibili online.Modalità Valutazione
Le valutazioni in itinere consistono in due prove scritte di due ore ciascuna, con circa 5 esercizi per prova. La prova finale consiste in una prova scritta di tre ore con circa sei esercizi.
scheda docente
materiale didattico
R. Durrett, Probability: Theory and examples
Mutuazione: 20410447 CP410 - TEORIA DELLA PROBABILITÀ in Matematica LM-40 CAPUTO PIETRO, CANDELLERO ELISABETTA
Programma
Fare riferimento alla pagina del corsoTesti Adottati
D. Williams, Probability with martingalesR. Durrett, Probability: Theory and examples
Modalità Erogazione
Esercitazioni frontali - gli esercizi proposti servono a chiarire e mettere in pratica i concetti visti a lezioneModalità Valutazione
Fare riferimento alla pagina del corso
scheda docente
materiale didattico
Introduzione
alla teoria della misura. Spazi di misura. Eventi. Lemmi di estensione e unicita' della
misura. Misure di probabilita'.
Lemma di Borel–Cantelli 1. Variabili aleatorie. Misurabilita’.
Legge e funzione di distribuzione di una variabile aleatoria. Indipendenza.
Lemma di Borel–Cantelli 2. Legge 0–1 per variabili aleatorie indipendenti.
Integrazione, valore atteso. Cenni sulla teoria dell’integrazione. Definizione
di integrale. Teorema di convergenza monotona. Aspettazione di variabili aleatorie.
Teoremi di passaggio al limite.
Disuguaglianza di Jensen. Norme Lp. Disuguaglianze
di Hoelder e Cauchy-Schwarz. Disuguaglianza di Markov. Esempi di legge debole e legge
forte dei grandi numeri. Spazi di misura prodotto. Teorema di Fubini. Leggi congiunte.
Attesa condizionata, martingale e teoremi di convergenza. Attesa condizionata
rispetto a una sotto σ–algebra. Teorema di Kolmogorov su esistenza e unicita'
dell’aspettazione condizionata. Densita' di probabilita' condizionata. Filtrazioni. Processi
stocastici a tempo discreto.
Martingale. Gambilng. Tempi d’arresto. Teorema di
Doob sullo “optional stopping”. Applicazioni al calcolo del valore atteso di tempi di
arresto. Tempi di uscita da un intervallo per passeggiate aleatorie. Teorema di convergenza
per martingale limitate in L^1. Teorema di convergenza per martingale limitate in L^2.
Esempi e problemi con martingale. Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov.
Convergenza in distribuzione e teorema del limite centrale. Funzioni
caratteristiche. Teorema di inversione per funzioni caratteristiche. Convergenza in
distribuzione. Teorema di equivalenza tra convergenza in distribuzione e convergenza
di funzioni caratteristiche. Teorema del limite centrale. Diversi modi di convergenza
per variabili aleatorie. Esempi e controesempi.
R. Durrett, Probability: Theory and Examples. Thomson, (2000).
Programma
Un esempio introduttivo: il processo di ramificazione.Introduzione
alla teoria della misura. Spazi di misura. Eventi. Lemmi di estensione e unicita' della
misura. Misure di probabilita'.
Lemma di Borel–Cantelli 1. Variabili aleatorie. Misurabilita’.
Legge e funzione di distribuzione di una variabile aleatoria. Indipendenza.
Lemma di Borel–Cantelli 2. Legge 0–1 per variabili aleatorie indipendenti.
Integrazione, valore atteso. Cenni sulla teoria dell’integrazione. Definizione
di integrale. Teorema di convergenza monotona. Aspettazione di variabili aleatorie.
Teoremi di passaggio al limite.
Disuguaglianza di Jensen. Norme Lp. Disuguaglianze
di Hoelder e Cauchy-Schwarz. Disuguaglianza di Markov. Esempi di legge debole e legge
forte dei grandi numeri. Spazi di misura prodotto. Teorema di Fubini. Leggi congiunte.
Attesa condizionata, martingale e teoremi di convergenza. Attesa condizionata
rispetto a una sotto σ–algebra. Teorema di Kolmogorov su esistenza e unicita'
dell’aspettazione condizionata. Densita' di probabilita' condizionata. Filtrazioni. Processi
stocastici a tempo discreto.
Martingale. Gambilng. Tempi d’arresto. Teorema di
Doob sullo “optional stopping”. Applicazioni al calcolo del valore atteso di tempi di
arresto. Tempi di uscita da un intervallo per passeggiate aleatorie. Teorema di convergenza
per martingale limitate in L^1. Teorema di convergenza per martingale limitate in L^2.
Esempi e problemi con martingale. Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov.
Convergenza in distribuzione e teorema del limite centrale. Funzioni
caratteristiche. Teorema di inversione per funzioni caratteristiche. Convergenza in
distribuzione. Teorema di equivalenza tra convergenza in distribuzione e convergenza
di funzioni caratteristiche. Teorema del limite centrale. Diversi modi di convergenza
per variabili aleatorie. Esempi e controesempi.
Testi Adottati
D. Williams, Probability with martingales. Cambridge University Press, (1991).R. Durrett, Probability: Theory and Examples. Thomson, (2000).
Modalità Erogazione
Lezione frontale, esercitazione, esercizi svolti disponibili online.Modalità Valutazione
Le valutazioni in itinere consistono in due prove scritte di due ore ciascuna, con circa 5 esercizi per prova. La prova finale consiste in una prova scritta di tre ore con circa sei esercizi.
scheda docente
materiale didattico
R. Durrett, Probability: Theory and examples
Programma
Fare riferimento alla pagina del corsoTesti Adottati
D. Williams, Probability with martingalesR. Durrett, Probability: Theory and examples
Bibliografia Di Riferimento
D. Williams, Probability with martingales R. Durrett, Probability: Theory and examplesModalità Erogazione
Esercitazioni frontali - gli esercizi proposti servono a chiarire e mettere in pratica i concetti visti a lezioneModalità Valutazione
Fare riferimento alla pagina del corso
scheda docente
materiale didattico
Introduzione
alla teoria della misura. Spazi di misura. Eventi. Lemmi di estensione e unicita' della
misura. Misure di probabilita'.
Lemma di Borel–Cantelli 1. Variabili aleatorie. Misurabilita’.
Legge e funzione di distribuzione di una variabile aleatoria. Indipendenza.
Lemma di Borel–Cantelli 2. Legge 0–1 per variabili aleatorie indipendenti.
Integrazione, valore atteso. Cenni sulla teoria dell’integrazione. Definizione
di integrale. Teorema di convergenza monotona. Aspettazione di variabili aleatorie.
Teoremi di passaggio al limite.
Disuguaglianza di Jensen. Norme Lp. Disuguaglianze
di Hoelder e Cauchy-Schwarz. Disuguaglianza di Markov. Esempi di legge debole e legge
forte dei grandi numeri. Spazi di misura prodotto. Teorema di Fubini. Leggi congiunte.
Attesa condizionata, martingale e teoremi di convergenza. Attesa condizionata
rispetto a una sotto σ–algebra. Teorema di Kolmogorov su esistenza e unicita'
dell’aspettazione condizionata. Densita' di probabilita' condizionata. Filtrazioni. Processi
stocastici a tempo discreto.
Martingale. Gambilng. Tempi d’arresto. Teorema di
Doob sullo “optional stopping”. Applicazioni al calcolo del valore atteso di tempi di
arresto. Tempi di uscita da un intervallo per passeggiate aleatorie. Teorema di convergenza
per martingale limitate in L^1. Teorema di convergenza per martingale limitate in L^2.
Esempi e problemi con martingale. Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov.
Convergenza in distribuzione e teorema del limite centrale. Funzioni
caratteristiche. Teorema di inversione per funzioni caratteristiche. Convergenza in
distribuzione. Teorema di equivalenza tra convergenza in distribuzione e convergenza
di funzioni caratteristiche. Teorema del limite centrale. Diversi modi di convergenza
per variabili aleatorie. Esempi e controesempi.
R. Durrett, Probability: Theory and Examples. Thomson, (2000).
Mutuazione: 20410447 CP410 - TEORIA DELLA PROBABILITÀ in Matematica LM-40 CAPUTO PIETRO, CANDELLERO ELISABETTA
Programma
Un esempio introduttivo: il processo di ramificazione.Introduzione
alla teoria della misura. Spazi di misura. Eventi. Lemmi di estensione e unicita' della
misura. Misure di probabilita'.
Lemma di Borel–Cantelli 1. Variabili aleatorie. Misurabilita’.
Legge e funzione di distribuzione di una variabile aleatoria. Indipendenza.
Lemma di Borel–Cantelli 2. Legge 0–1 per variabili aleatorie indipendenti.
Integrazione, valore atteso. Cenni sulla teoria dell’integrazione. Definizione
di integrale. Teorema di convergenza monotona. Aspettazione di variabili aleatorie.
Teoremi di passaggio al limite.
Disuguaglianza di Jensen. Norme Lp. Disuguaglianze
di Hoelder e Cauchy-Schwarz. Disuguaglianza di Markov. Esempi di legge debole e legge
forte dei grandi numeri. Spazi di misura prodotto. Teorema di Fubini. Leggi congiunte.
Attesa condizionata, martingale e teoremi di convergenza. Attesa condizionata
rispetto a una sotto σ–algebra. Teorema di Kolmogorov su esistenza e unicita'
dell’aspettazione condizionata. Densita' di probabilita' condizionata. Filtrazioni. Processi
stocastici a tempo discreto.
Martingale. Gambilng. Tempi d’arresto. Teorema di
Doob sullo “optional stopping”. Applicazioni al calcolo del valore atteso di tempi di
arresto. Tempi di uscita da un intervallo per passeggiate aleatorie. Teorema di convergenza
per martingale limitate in L^1. Teorema di convergenza per martingale limitate in L^2.
Esempi e problemi con martingale. Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov.
Convergenza in distribuzione e teorema del limite centrale. Funzioni
caratteristiche. Teorema di inversione per funzioni caratteristiche. Convergenza in
distribuzione. Teorema di equivalenza tra convergenza in distribuzione e convergenza
di funzioni caratteristiche. Teorema del limite centrale. Diversi modi di convergenza
per variabili aleatorie. Esempi e controesempi.
Testi Adottati
D. Williams, Probability with martingales. Cambridge University Press, (1991).R. Durrett, Probability: Theory and Examples. Thomson, (2000).
Bibliografia Di Riferimento
D. Williams, Probability with martingales R. Durrett, Probability: Theory and examplesModalità Erogazione
Lezione frontale, esercitazione, esercizi svolti disponibili online.Modalità Valutazione
Le valutazioni in itinere consistono in due prove scritte di due ore ciascuna, con circa 5 esercizi per prova. La prova finale consiste in una prova scritta di tre ore con circa sei esercizi.
scheda docente
materiale didattico
R. Durrett, Probability: Theory and examples
Mutuazione: 20410447 CP410 - TEORIA DELLA PROBABILITÀ in Matematica LM-40 CAPUTO PIETRO, CANDELLERO ELISABETTA
Programma
Fare riferimento alla pagina del corsoTesti Adottati
D. Williams, Probability with martingalesR. Durrett, Probability: Theory and examples
Bibliografia Di Riferimento
D. Williams, Probability with martingales R. Durrett, Probability: Theory and examplesModalità Erogazione
Esercitazioni frontali - gli esercizi proposti servono a chiarire e mettere in pratica i concetti visti a lezioneModalità Valutazione
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