Programma

Il Corso si propone di introdurre, in modo elementare e con gli strumenti di base algebrici e geometrici a disposizione degli studenti, le varietà che ammettono equazioni parametriche razionali. In particolare verranno innanzitutto studiati gli esempi più importanti di varietà proiettive razionali: sia nel caso di curve e superfici algebriche sia per particolari varietà di dimensione superiore. Gli esempi saranno utili per introdurre il problema della razionalità per alcune classi di varietà algebriche di notevole interesse. Si fa qui riferimento alle ipersuperfici cubiche ma anche ad altre ben note varietà algebriche tridimensionali, tra cui il controesempio di Artin-Mumford al problema di Luroth e altri threefolds studiati da Fano e da Enriques. La nozione di varietà algebrica razionale si accompagna a diverse nozioni più deboli ma particolarmente importanti. Verranno studiate queste nozioni e affrontato il recente metodo di Voisin (decomposizione della diagonale) per dedurre risultati di non razionalità.
Il Corso si svilupperà sui seguenti argomenti:
(1) Curve e razionalità: teorema di L¨uroth.
(2) Immersioni della retta proiettiva.
(3) Varietà proiettive di grado minimo.
(4) Superfici di Del Pezzo.
(5) Criterio di razionalità per superfici algebriche.
(6) Problemi di (uni)razionalità per ipersuperfici.
(7) Cubiche.
(8) Problema di Lueroth.
(9) Il controesempio di Artin-Mumford.
(10) Il metodo di Voisin di decomposizione della diagonale.

Testi Adottati

Testo:
A. Corti, J. Kollar, K. Smith 'Rational and nearly rational varieties', Cambridge studies in advanced mathematics vol. 92, Cambridge UP (2004)

Alcuni riferimenti bibliografici per il corso:

1) A. Beauville, B. Hassett, A. Kuznetsov, A. Verra 'Rationality problems in Algebraic Geometry' Lecture Notes in Mathematics vol. 2172, Springer (2016)
2) I. Dolgachev 'Classical Algebraic Geometry. A Modern View' Cambridge UP (2016)
3) M. Mustata 'Topics in Algebraic Geometry II. Rationality of Algebraic Varieties', Note on line: https://web.math.princeton.edu/~takumim/Rationality.pdf

Modalità Erogazione

Il corso si articola in lezioni ed esercitazioni in aula, svolte dal docente secondo l' orario assegnato.

Modalità Valutazione

Seminario da parte dello studente di 45-60 minuti su un argomento relativo al corso, proposto e concordato con il docente.

Programma

Il Corso si propone di introdurre, in modo elementare e con gli strumenti di base algebrici e geometrici a disposizione degli studenti, le varietà che ammettono equazioni parametriche razionali. In particolare verranno innanzitutto studiati gli esempi più importanti di varietà proiettive razionali: sia nel caso di curve e superfici algebriche sia per particolari varietà di dimensione superiore. Gli esempi saranno utili per introdurre il problema della razionalità per alcune classi di varietà algebriche di notevole interesse. Si fa qui riferimento alle ipersuperfici cubiche ma anche ad altre ben note varietà algebriche tridimensionali, tra cui il controesempio di Artin-Mumford al problema di Luroth e altri threefolds studiati da Fano e da Enriques. La nozione di varietà algebrica razionale si accompagna a diverse nozioni più deboli ma particolarmente importanti. Verranno studiate queste nozioni e affrontato il recente metodo di Voisin (decomposizione della diagonale) per dedurre risultati di non razionalità.
Il Corso si svilupperà sui seguenti argomenti:
(1) Curve e razionalità: teorema di L¨uroth.
(2) Immersioni della retta proiettiva.
(3) Varietà proiettive di grado minimo.
(4) Superfici di Del Pezzo.
(5) Criterio di razionalità per superfici algebriche.
(6) Problemi di (uni)razionalità per ipersuperfici.
(7) Cubiche.
(8) Problema di Lueroth.
(9) Il controesempio di Artin-Mumford.
(10) Il metodo di Voisin di decomposizione della diagonale.

Testi Adottati

Testo:
A. Corti, J. Kollar, K. Smith 'Rational and nearly rational varieties', Cambridge studies in advanced mathematics vol. 92, Cambridge UP (2004)

Alcuni riferimenti bibliografici per il corso:

1) A. Beauville, B. Hassett, A. Kuznetsov, A. Verra 'Rationality problems in Algebraic Geometry' Lecture Notes in Mathematics vol. 2172, Springer (2016)
2) I. Dolgachev 'Classical Algebraic Geometry. A Modern View' Cambridge UP (2016)
3) M. Mustata 'Topics in Algebraic Geometry II. Rationality of Algebraic Varieties', Note on line: https://web.math.princeton.edu/~takumim/Rationality.pdf

Modalità Erogazione

Il corso si articola in lezioni ed esercitazioni in aula, svolte dal docente secondo l' orario assegnato.

Modalità Valutazione

Seminario da parte dello studente di 45-60 minuti su un argomento relativo al corso, proposto e concordato con il docente.

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Il Corso si propone di introdurre, in modo elementare e con gli strumenti di base algebrici e geometrici a disposizione degli studenti, le varietà che ammettono equazioni parametriche razionali. In particolare verranno innanzitutto studiati gli esempi più importanti di varietà proiettive razionali: sia nel caso di curve e superfici algebriche sia per particolari varietà di dimensione superiore. Gli esempi saranno utili per introdurre il problema della razionalità per alcune classi di varietà algebriche di notevole interesse. Si fa qui riferimento alle ipersuperfici cubiche ma anche ad altre ben note varietà algebriche tridimensionali, tra cui il controesempio di Artin-Mumford al problema di Luroth e altri threefolds studiati da Fano e da Enriques. La nozione di varietà algebrica razionale si accompagna a diverse nozioni più deboli ma particolarmente importanti. Verranno studiate queste nozioni e affrontato il recente metodo di Voisin (decomposizione della diagonale) per dedurre risultati di non razionalità.
Il Corso si svilupperà sui seguenti argomenti:
(1) Curve e razionalità: teorema di L¨uroth.
(2) Immersioni della retta proiettiva.
(3) Varietà proiettive di grado minimo.
(4) Superfici di Del Pezzo.
(5) Criterio di razionalità per superfici algebriche.
(6) Problemi di (uni)razionalità per ipersuperfici.
(7) Cubiche.
(8) Problema di Lueroth.
(9) Il controesempio di Artin-Mumford.
(10) Il metodo di Voisin di decomposizione della diagonale.

Testi Adottati

Testo:
A. Corti, J. Kollar, K. Smith 'Rational and nearly rational varieties', Cambridge studies in advanced mathematics vol. 92, Cambridge UP (2004)

Alcuni riferimenti bibliografici per il corso:

1) A. Beauville, B. Hassett, A. Kuznetsov, A. Verra 'Rationality problems in Algebraic Geometry' Lecture Notes in Mathematics vol. 2172, Springer (2016)
2) I. Dolgachev 'Classical Algebraic Geometry. A Modern View' Cambridge UP (2016)
3) M. Mustata 'Topics in Algebraic Geometry II. Rationality of Algebraic Varieties', Note on line: https://web.math.princeton.edu/~takumim/Rationality.pdf

Modalità Erogazione

Il corso si articola in lezioni ed esercitazioni in aula, svolte dal docente secondo l' orario assegnato.

Modalità Valutazione

Seminario da parte dello studente di 45-60 minuti su un argomento relativo al corso, proposto e concordato con il docente.