Acquisire una buona conoscenza dei concetti e metodi della teoria delle equazioni polinomiali di una variabile. Saper applicare le tecniche e i metodi dell'algebra astratta. Capire e saper applicare il teorema fondamentale della corrispondenza di Galois per studiare la "complessità" di un polinomio.
scheda docente
materiale didattico
anelli e campi, la caratteristica di un campo, richiami sugli anelli di polinomi,estensioni di campi, costruzione di alcune estensioni di campi,
il sottoanello generato da un sottoinsieme, il sottocampo generato da un sottoinsieme, elementi algebrici e trascendenti, campi algebricamente chiusi.
Campi di spezzamento. Estensioni semplici e mappe tra estensioni semplici,campi di spezzamento, esistenza del campo di spezzamento, unicità a meno di isomorfismi del campo di spezzamento, radici multiple, derivate formali, polinomi separabili e campi perfetti, polinomi minimi e loro caratterizzazioni.
Il Teorema fondamentale della Teoria di Galois. Gruppo degli automorfismi di un campo, estensioni normali, separabili e di Galois, caratterizzazioni di estensioni separabili, Teorema fondamentale della corrispondenza di Galois, esempi, gruppodi Galois di un polinomio, Estensioni radicali, gruppi risolubili e il Teorema di Galois sulla risoluzione delle equazioni, Teorema dell’esistenza dell’elemento primitivo.
Il calcolo del gruppo di Galois. Gruppi di Galois come sottogruppi di S_n,sottogruppi transitivi di S_n, caratterizzazione dell’irriducibilità in termini della transitività, polinomi con gruppi di Galois in A_n,
Teoria dei discriminanti, gruppi di Galois di polinomi di grado minore o uguale a 4, esempi di polinomi con gruppo di Galois S_p,
Teorema di Dedekind (solo enunciato). Applicazioni del Teorema di Dedekind, come costruire un polinomio con gruppo di Galois S_n.
Campi ciclotomici. Definizioni, gruppo di Galois, sotto campi reali massimali,sotto campi quadratici, gruppi di Galois, polinomi ciclotomici e loro proprietà, Teorema della teoria inversa di Galois per gruppi abeliani.
Campi Finiti. Esistenza e unicità dei campi finiti, gruppo di Galois di un campo finito, sottocampi di un campo finito, enumerazione dei polinomi irriducibili su campi finiti.
Costruzione della chiusura algebrica di un campo finito con p elementi.
Costruzioni con riga e compasso. Definizione di punti del piano costruibili,numeri reali costruibili, caratterizzazione dei punti costruibili in termini di campi, sottocampi costruibili e costruzione di numeri costruibili, duplicazione del cubo, trisezione degli angoli, quadratura del cerchio e Teorema di Gauss per la costruibilità degli poligoni regolari con riga e compasso.
Mutuazione: 20402083 AL310 - ISTITUZIONI DI ALGEBRA SUPERIORE in Matematica L-35 N0 PAPPALARDI FRANCESCO
Programma
Equazioni di Cardano per la risolubilità delle equazioni di terzo grado,anelli e campi, la caratteristica di un campo, richiami sugli anelli di polinomi,estensioni di campi, costruzione di alcune estensioni di campi,
il sottoanello generato da un sottoinsieme, il sottocampo generato da un sottoinsieme, elementi algebrici e trascendenti, campi algebricamente chiusi.
Campi di spezzamento. Estensioni semplici e mappe tra estensioni semplici,campi di spezzamento, esistenza del campo di spezzamento, unicità a meno di isomorfismi del campo di spezzamento, radici multiple, derivate formali, polinomi separabili e campi perfetti, polinomi minimi e loro caratterizzazioni.
Il Teorema fondamentale della Teoria di Galois. Gruppo degli automorfismi di un campo, estensioni normali, separabili e di Galois, caratterizzazioni di estensioni separabili, Teorema fondamentale della corrispondenza di Galois, esempi, gruppodi Galois di un polinomio, Estensioni radicali, gruppi risolubili e il Teorema di Galois sulla risoluzione delle equazioni, Teorema dell’esistenza dell’elemento primitivo.
Il calcolo del gruppo di Galois. Gruppi di Galois come sottogruppi di S_n,sottogruppi transitivi di S_n, caratterizzazione dell’irriducibilità in termini della transitività, polinomi con gruppi di Galois in A_n,
Teoria dei discriminanti, gruppi di Galois di polinomi di grado minore o uguale a 4, esempi di polinomi con gruppo di Galois S_p,
Teorema di Dedekind (solo enunciato). Applicazioni del Teorema di Dedekind, come costruire un polinomio con gruppo di Galois S_n.
Campi ciclotomici. Definizioni, gruppo di Galois, sotto campi reali massimali,sotto campi quadratici, gruppi di Galois, polinomi ciclotomici e loro proprietà, Teorema della teoria inversa di Galois per gruppi abeliani.
Campi Finiti. Esistenza e unicità dei campi finiti, gruppo di Galois di un campo finito, sottocampi di un campo finito, enumerazione dei polinomi irriducibili su campi finiti.
Costruzione della chiusura algebrica di un campo finito con p elementi.
Costruzioni con riga e compasso. Definizione di punti del piano costruibili,numeri reali costruibili, caratterizzazione dei punti costruibili in termini di campi, sottocampi costruibili e costruzione di numeri costruibili, duplicazione del cubo, trisezione degli angoli, quadratura del cerchio e Teorema di Gauss per la costruibilità degli poligoni regolari con riga e compasso.
Testi Adottati
J. S. Milne,Fields and Galois Theory.Course Notes, (2015).Modalità Erogazione
sei ore di lezione a settimana e due di esercitazioniModalità Valutazione
soluzione di problemi e domande teoriche