Topologia: classificazione topologica di curve e superfici. Geometria differenziale: studio della geometria di curve e superfici in R^3 per fornire esempi concreti e facilmente calcolabili sul concetto di curvatura in geometria. I metodi usati pongono la geometria in relazione con il calcolo di pi— variabili, l'algebra lineare e la topologia, fornendo allo studente una visione ampia di alcuni aspetti della matematica
scheda docente
materiale didattico
orientabilit`a. Somma connessa. Superfici e poligoni etichettati. Caratteristica di Eulero. Teorema di classificazione topologica delle superfici compatte.
2. Curve in R3. Curve lisce, curve regolari. Immersioni e imbedding. Lunghezza di una curva regolare e ascissa curvilinea. Curvatura e torsione. Curve piane, curvatura con segno,
teorema fondamentale della geometria locale delle curve piane.
3. Superfici regolari in R3. Definizione, coordinate locali: esempi. Ogni superficie regolare `e local- mente il grafico di una funzione. Immagine inversa di un valore regolare.
Funzioni, applicazioni lisce e diffeomorfismi su una superficie. Piano tangente e derivata di un’applicazione. Esempio: la funzione ‘altezza da un piano’. Versore normale,
applicazione di Gauss, e orientazione. Superfici orientabili, il nastro di Mo ̈bius non `e orientabile.
4. L’Applicazione di Gauss di una superficie in R3. La prima forma fondamentale di una superficie nello spazio Euclideo: espressione in coordinate locali, esempi. Operatore
autoaggiunto e forma bilineare simmetrica associata, teorema spettrale: l’operatore Forma e la seconda forma fondamentale di una superficie in R3, curvature principali.
Curvatura Media e di Gauss, punti ellittici, iperbolici, parabolici e planari. Esempi. Studio della funzione ‘seconda forma fondamentale ristretta al cerchio tangente unitario’:
curvatura normale. Teorema di Meusnieur. Direzioni di curvatura e direzioni asintotiche. Linee di curvatura: teorema di Olinde Rodrigues. Una superficie con tutti punti ombelicali
`e contenuta in un piano o in una sfera.
5. Significato geometrico della curvatura di Gauss. Segno della curvatura di Gauss e posizione del piano tangente. Studio della funzione ‘distanza di una superficie da un piano’:
punti critici e inter- pretazione geometrica della segnatura dell’Hessiana nei punti critici. Studio della funzione ‘distanza da un punto’ e curvatura di Gauss in un punto di massimo.
Applicazioni alle superfici compatte. Superfici rigate, superfici Minime.
6. Isometrie di superfici. Movimenti rigidi di R3 e isometrie di superfici. Isometrie locali, esempi. Isometrie conformi e coordinate isoterme. Calcolo dell’operatore Forma in
coordinate isoterme. Equazione di Gauss e dimostrazione del Theorema Egregium. Esempi, controesempi e applicazioni.
7. Esercizi. Parte integrante del corso e strumento centrale per la preparazione all’esame scritto sono gli esercizi che potete trovare sui libri di testo e/o distribuiti in classe e quelli
disponibili sul sito della didattica interattiva del corso.
8. Laboratorio: 12 ore di laboratorio per la visualizzazione e il calcolo su curve e superfici.
[1] J.M. Lee, Introduction to topological manifolds. Springer, (2000). - – http://dx.doi.org/10.1007/b98853
[2] M. Do Carmo , Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice Hall, (1976).
[3] E. Sernesi, Geometria 2. Boringhieri, (1994).
[4] M.Abate, F.Tovena, Curve e Superfici. Springer, (2006).
Mutuazione: 20402087 GE310 - ISTITUZIONI DI GEOMETRIA SUPERIORE in Matematica L-35 N0 PONTECORVO MASSIMILIANO, OTIMAN ALEXANDRA IULIA
Programma
1. Classificazione topologica di curve e superfici. Variet`a topologiche e topologia quoziente; richiami. Triangolazioni. Classificazione topologica delle curve. Superfici e loroorientabilit`a. Somma connessa. Superfici e poligoni etichettati. Caratteristica di Eulero. Teorema di classificazione topologica delle superfici compatte.
2. Curve in R3. Curve lisce, curve regolari. Immersioni e imbedding. Lunghezza di una curva regolare e ascissa curvilinea. Curvatura e torsione. Curve piane, curvatura con segno,
teorema fondamentale della geometria locale delle curve piane.
3. Superfici regolari in R3. Definizione, coordinate locali: esempi. Ogni superficie regolare `e local- mente il grafico di una funzione. Immagine inversa di un valore regolare.
Funzioni, applicazioni lisce e diffeomorfismi su una superficie. Piano tangente e derivata di un’applicazione. Esempio: la funzione ‘altezza da un piano’. Versore normale,
applicazione di Gauss, e orientazione. Superfici orientabili, il nastro di Mo ̈bius non `e orientabile.
4. L’Applicazione di Gauss di una superficie in R3. La prima forma fondamentale di una superficie nello spazio Euclideo: espressione in coordinate locali, esempi. Operatore
autoaggiunto e forma bilineare simmetrica associata, teorema spettrale: l’operatore Forma e la seconda forma fondamentale di una superficie in R3, curvature principali.
Curvatura Media e di Gauss, punti ellittici, iperbolici, parabolici e planari. Esempi. Studio della funzione ‘seconda forma fondamentale ristretta al cerchio tangente unitario’:
curvatura normale. Teorema di Meusnieur. Direzioni di curvatura e direzioni asintotiche. Linee di curvatura: teorema di Olinde Rodrigues. Una superficie con tutti punti ombelicali
`e contenuta in un piano o in una sfera.
5. Significato geometrico della curvatura di Gauss. Segno della curvatura di Gauss e posizione del piano tangente. Studio della funzione ‘distanza di una superficie da un piano’:
punti critici e inter- pretazione geometrica della segnatura dell’Hessiana nei punti critici. Studio della funzione ‘distanza da un punto’ e curvatura di Gauss in un punto di massimo.
Applicazioni alle superfici compatte. Superfici rigate, superfici Minime.
6. Isometrie di superfici. Movimenti rigidi di R3 e isometrie di superfici. Isometrie locali, esempi. Isometrie conformi e coordinate isoterme. Calcolo dell’operatore Forma in
coordinate isoterme. Equazione di Gauss e dimostrazione del Theorema Egregium. Esempi, controesempi e applicazioni.
7. Esercizi. Parte integrante del corso e strumento centrale per la preparazione all’esame scritto sono gli esercizi che potete trovare sui libri di testo e/o distribuiti in classe e quelli
disponibili sul sito della didattica interattiva del corso.
8. Laboratorio: 12 ore di laboratorio per la visualizzazione e il calcolo su curve e superfici.
Testi Adottati
[1] J.M. Lee, Introduction to topological manifolds. Springer, (2000). - – http://dx.doi.org/10.1007/b98853
[2] M. Do Carmo , Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice Hall, (1976).
[3] E. Sernesi, Geometria 2. Boringhieri, (1994).
[4] M.Abate, F.Tovena, Curve e Superfici. Springer, (2006).
Modalità Valutazione
Il voto finale si basa su una prova scritta in classe, esercizi per casa e progetto di laboratorio.
scheda docente
materiale didattico
Mutuazione: 20402087 GE310 - ISTITUZIONI DI GEOMETRIA SUPERIORE in Matematica L-35 N0 PONTECORVO MASSIMILIANO, OTIMAN ALEXANDRA IULIA
Programma
Incontri nel laboratorio informatica per l'uso del software Wolfram Mathematica per visualizzazione grafica delle curve e delle superficieTesti Adottati
Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamon, "Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica"Modalità Erogazione
Laboratorio informaticoModalità Valutazione
Tesina in Mathematica