Programma

Part 1. Geometria algebrica affine.
Preliminari algebrici: anelli Noetheriani e teorema della base di Hilbert.
Topologia di Zariski e sue proprietà generali.
Curve piane..
Chiusi irriducibili e ideali primi. Decomposizione in componenti irriducibili.
Dimostrazione del teorema degli zeri di Hilbert.
Ideali radicali e corrispondenza tra chiusi e ideali radicali. Algebre associate a chiusi affini.
Applicazioni regolari e isomorfismi. Anello delle funzioni regolari di un chiuso affine. Corrispondenza tra algebre finite e chiusi affini. Dimensione.
Caratterizzazione di morfismi dominanti. Aperti principali.
Prodotti e proiezioni.

Part 2. Geometria algebrica proiettiva.
Spazi proiettivi: topologia di Zariski, corrispondenza tra ideali radicali omogenei e chiusi proiettivi.
Ipersuperfici proiettive. Spazi di ipersuperfici, piano proiettivo duale.
Funzioni razionali su varietà quasiproiettive. Applicazioni razionali e morfismi tra varietà quasiproiettive.
Descrizione dell'algebra delle funzioni razionali e regolari di spazi proiettivi. Varietà affini e proiettive. Varietà quasiproiettive come unione finita di varietà affini.
Dimensione di varietà.
Equivalenza birazionale e sua caratterizzazione.
Automorfismi e proiettività di spazi proiettivi.
Curve razionali normali.
Applicazioni di Veronese e varietà di Veronese.
Prodotti, morfismo di Segre, caratterizzazione dei chiusi nel prodotto di spazi proiettivi.
Proiezioni da chiusi in spazi proiettivi. Risultante di due polinomi e invarianza della chiusura proiettiva.
Scoppiamento del piano (affine e proiettivo) in un punto.
Grafico di un'applicazione razionale e risoluzione di applicazioni razionali.

Part 3: Geometria Locale
Anello locale di una varietà in un suo punto. Spazio cotangente di una varietà in un suo punto. Spazio tangente di Zariski di un chiuso affine in un suo punto.
Punti singolari e nonsingolari.
Dimensione di intersezioni di varietà proiettive e quasiproiettive con ipersuperfici. Teorema sulla semicontinuità superiore delle fibre di un morfismo.
Chiusi localmente principali. Varietà localmente fattoriali e loro prorietà di base. Le varietà nonsingolari sono localmente fattoriali. Il luogo dei punti singolari di una varietà localmente fattoriale ha codimensione almeno 2.
Teorema di Bertini sulla nonsingolarità delle fibre di un morfismo.
Geometria di curve, esempio di curva non razionale e non singolare.
Varietà normali e normalizzazione. Esistenza e unicità della normalizzazione per varietà affini.

Part 4 Divisori e sistemi lineari.
Divisori. Gruppo dei divisori e divisori principali.
Equivalenza lineare. Gruppo delle classi (gruppo di Picard).
Sistemi lineari associati a varieta' proiettive.
Sistemi lineari associati a divisori.

Testi Adottati

(1) I. Shafarevich Basic algebraic geometry vol. 1 Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
(2) J. Harris Algebraic geometry (a first course) Graduate Texts in Math. No. 133. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
(3) Lucia Caporaso Introduzione alla geometria algebrica Versione preliminare.

Modalità Erogazione

Lezioni ed esercitazioni frontali.

Modalità Valutazione

Gli studenti possono scegliere tra due forme di esame orale: (1) Esame orale tradizionale sui contenuti del corso. (2) Presentazione in forma seminariale di argomenti scelti. La tipologia (2) puo' essere scelta solo per la prova nella prima sessione d'esame (gennaio-febbraio 2020).