Programma

L'obiettivo del corso è presentare il Metodo degli Elementi Finiti (MEF), uno dei metodi più utilizzati nel panorama delle tecniche numeriche per la soluzione di problemi scientifici basati su sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali.
Gli studenti impareranno a utilizzare software per il calcolo scientifico basato sul MEF, e acquisiranno le competenze per implementare e risolvere alcuni problemi campione tipici della meccanica dei solidi, dei fluidi, e della fisica dei mezzi continui.
Il corso tratterà il MEF sia dal punto di vista teorico che pratico, illustrando gli strumenti per la soluzione numerica delle equazioni classiche della fisica matematica, quali le equazioni ellittiche, iperboliche e paraboliche.
1. La Cassetta degli attrezzi
La regola di Leibniz e il teorema della divergenza. La derivata debole. La nozione di funzioni generalizzate; la “delta” e il gradino. Le funzione lisce a supporto compatto; le funzioni di saggio. Nozione di funzionale lineare, forma lineare e forma bilineare. Spazi funzionali, prodotto interno, norma e distanza. Teorema di rappresentazione di Riesz.
Esempio prototipo di legge di bilancio. Il primo problema modello: il laplaciano e l’equazione del calore. Il secondo problema modello: la meccanica dei solidi.
La formulazione debole del problema differenziale. Condizioni al contorno essenziali, naturali e miste. Relazioni tra formulazione debole, forte e variazionale.
2. Il Metodo di Galierkin
Esempio base: laplaciano in 1D. Funzioni di forma lineari e quadratiche. Assemblaggio della matrice di rigidezza e del vettore dei carichi. Confronto elementi finiti e differenze finite. Condizioni al bordo in forma debole e metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
3. Il Metodo degli Elementi Finiti.
Esempio base: laplaciano in 2D. Griglie triangolari. Funzioni di forma lineari a tratti. Funzioni di forma quadratiche e cubiche. Triangoli di Lagrange di ordine arbitrario. Griglie quadrilatere.
4. Analisi della convergenza
Approssimazione di funzioni lisce con funzioni lineari a tratti. Raffinamento della griglie. Convergenza nella norma energia; convergenza nella norma L2.
5. Soluzione delle equazioni degli elementi finiti
Matrici sparse. Metodi di soluzione diretta. Fattorizzazione di Cholesky. Precondizionamento, metodi iterative, iterazioni di Jacobi. Gradiente Coniugato (GC). Basi gerarchiche. Cenno la Metodo multigriglia. Metodi adattativi. Raffinamento locale delle griglie. Stima degli errori.
6. Problemi di trasporto.
Implementazione e soluzione di problemi di diffusione-convenzione. Criterio di Friederick-Lax-Courant. Stabilità delle soluzioni. Cenno ai metodi di stabilizzazione delle oscillazioni. Problemi di trasporto del tipo reazione-diffusione.
7. Meccanica dei Solidi
Implementazione e soluzione di problemi campione della meccanica dei solidi; Elasticità lineare; materiali isotropi e non isotropi. Problemi di vibrazioni. Onde Elastiche.
8. Meccanica dei fluidi
Esempi campione di problemi di fluidodinamica numerica. Equazione di Navier-Stokes.

Testi Adottati

1) Integral Form at a Glance,
note a cura del docente

2) When functions have no value(s): Delta functions and distributions
Steven G. Johnson, MIT course 18.303 notes, 2011

3) Understanding and Implementing the Finite Elements Method
Mark S. Gockenbach, SIAM, 2006 Cap. 1 Some model PDE’s
Cap. 2 The weak formo of a BVP Cap. 3 The Galerkin method
Cap. 4 Piecewise polynomials and the finite element method (sections 4.1, 4.2) Cap. 5 Convergence of the finite element method (sections 5.1 ~ 5.4)

Modalità Erogazione

Lezioni teoriche ed esercitazioni con software scientifico; una parte importante dell'insegnamento è dedicata alle esercitazioni. C01_Rod1D_traction. Esempio prototipo di problema ellittico. Introduzione alla forma integrale e al formato standard dei problemi di bilancio. C02_Heat_Equation. Esempio di problema parabolico. Introduzione ai problemi non stazionari; nozione di flusso, legame costitutivo anisotropo. Dissipazione. Nozione di compatibilità delle sorgenti. Nozione di vincolo in forma integrale (weak constraint). C03_Heat_Equation_Conductive_line. Primo esempio di accoppiamento multi-fisico; gerarchia delle strutture geometriche; associazione di un modello fisico ad un dominio C04a_Heat_2D_Sphere. Primo esempio di dominio senza bordo: la sfera. Scompare la condizione al bordo; domino curvo: definizione delle derivate tangenti. C04b_Heat_2D_Torus. Secondo esempio di dominio senza bordo: il toro. C05_Laplacian_2D_Ellipsoid_Curvature. Terzo esempio di dominio senza bordo: l'ellissoide. La relazione costitutiva è definita in funzione delle curvature principali della superficie. C06_L2_Norm. Studio della convergenza per un problema parabolico. Effetto delle funzioni di forma e della taglia del reticolo C07_Iterative_Solver. Gestione degli algoritmi di soluzione dei sistemi lineari; solutori iterativi e tecniche di pre-condizionamento. C08a_Wave_1D. Introduzione ai problemi non stazionari iperbolici. Conservazione energia e propagazione di onde elastiche C08b_Wave_1D_InitialPulse. Equazione delle onde e risposta all'impulso. C08c_Wave_2D. Propagazione di onde in 2D. Mezzo anisotropo. C09a_Convection_Diffusion_1D. Problema dell'interazione diffusione & convenzione; instabilità delle soluzioni e metodi stabilizzanti C09b_Convection_Diffusion_2D. Problema dell'interazione diffusione & convenzione; raffinamento automatico della griglia di calcolo C10_Stabilization. Problema oscillazioni per problemi diffusione & convenzione; tecniche di stabilizzazione. C11_Elastic_Solid. Problema ellittico 3D per un campo vettoriale: la meccanica dei solidi e le distorsioni. C12_Nonlinear_Elastic_Solid. La meccanica dei solidi non lineare e le grandi distorsioni. Soluzione con tecniche di continuazione. C13_Segregated_Solver. Problemi con accoppiamento unidirezionale e solutori segregati. C14_Cylinder_Flow. Problema parabolico 2D per un campo vettoriale: la meccanica dei fluidi. C15_Navier_Stokes_L_Junction _2D. Esempio di meccanica dei fluidi. C16_Buoyancy_Free. Modello di trasporto con accoppiamento multi-fisico : calore trasportato da un fluido & fluido mosso da gradienti termici. C17_Nematic_Liquid_Crystal. Esempio di problema con variabile di stato definita su una varietà curva. Accoppiamento campo nematico & campo elettrico Mathematica M01_Test_Function. Mathematica Notebook per lo studio delle funzioni di saggio M07_Convection_diffusion. Mathematica Notebook per lo studio delle oscillazioni nel problema diffusione + convezione ATTENZIONE: Nel caso di un prolungamento dell’emergenza sanitaria da COVID-19 saranno recepite tutte le disposizioni che regolino le modalità di svolgimento delle attività didattiche e della valutazione degli studenti. In particolare le lezioni si volgeranno in modalità telematica.

Modalità Valutazione

Gli studenti dovranno scegliere un argomento da sviluppare tra quelli presentati durante le lezioni. Dovranno quindi preparare un testo scritto in cui viene descritto il problema, e vengono discussi i risultati degli esperimenti numerici. ATTENZIONE: Nel caso di un prolungamento dell’emergenza sanitaria da COVID-19 saranno recepite tutte le disposizioni che regolino le modalità di svolgimento delle attività didattiche e della valutazione degli studenti. In particolare gli esami si volgeranno in modalità telematica.