Introdurre allo studio della geometria riemanniana affrontando in particolare i teoremi di Gauss-Bonnet e Hopf-Rinow.
Curriculum
scheda docente
materiale didattico
variet`a. Dimostreremo il teorema di Gauss-Bonnet per le superfici e il teorema di Hopf-Rinow che vale in dimensione qualsiasi. La dimostrazione di
entrambi i risultati `e basata sullo studio delle geodetiche, le curve che minimizzano la distanza (almeno localmente) su una variet`a Riemanniana.
2. Integrazione sulle superfici. Area di una superficie e sua curvatura totale.
3. Derivata covariante. Derivata covariante di un campo di vettori tangenti, trasporto parallelo e geodetiche. Curvatura geodetica.
4. Teorema di Gauss-Bonnet. Dimostrazione del teorema di Gauss-Bonnet locale e globale, relazioni tra topologia e geometria di una superfiice.
5. Teorema di Hopf-Rinow. Variet`a Riemanniane di dimensione qualsiasi. L’applicazione esponen- ziale, intorni convessi. Variet`a complete: teorema di
Hopf-Rinow. Applicazioni: Teorema di rigidit`a della sfera.
6. Esercizi. Esercizi scritti e complementi.
[1] M. Do Carmo , Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice Hall, (1976). [2] M. Do Carmo , Riemannian Geometry. Birk ̈auser, (1992).
[3] M.Abate, F.Tovena, Curve e Superfici. Springer, (2006).
[4] Marco Abate, Francesca Tovena, Geometria Differenziale. Springer, (2011).
Mutuazione: 20410444 GE430 - GEOMETRIA RIEMANNIANA in Matematica LM-40 PONTECORVO MASSIMILIANO
Programma
1. Introduzione. Lo scopo del corso `e trattare alcuni argomenti di Geometria Riemanniana che riguardano la relazione tra topologia e geometria dellevariet`a. Dimostreremo il teorema di Gauss-Bonnet per le superfici e il teorema di Hopf-Rinow che vale in dimensione qualsiasi. La dimostrazione di
entrambi i risultati `e basata sullo studio delle geodetiche, le curve che minimizzano la distanza (almeno localmente) su una variet`a Riemanniana.
2. Integrazione sulle superfici. Area di una superficie e sua curvatura totale.
3. Derivata covariante. Derivata covariante di un campo di vettori tangenti, trasporto parallelo e geodetiche. Curvatura geodetica.
4. Teorema di Gauss-Bonnet. Dimostrazione del teorema di Gauss-Bonnet locale e globale, relazioni tra topologia e geometria di una superfiice.
5. Teorema di Hopf-Rinow. Variet`a Riemanniane di dimensione qualsiasi. L’applicazione esponen- ziale, intorni convessi. Variet`a complete: teorema di
Hopf-Rinow. Applicazioni: Teorema di rigidit`a della sfera.
6. Esercizi. Esercizi scritti e complementi.
Testi Adottati
[1] M. Do Carmo , Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice Hall, (1976). [2] M. Do Carmo , Riemannian Geometry. Birk ̈auser, (1992).
[3] M.Abate, F.Tovena, Curve e Superfici. Springer, (2006).
[4] Marco Abate, Francesca Tovena, Geometria Differenziale. Springer, (2011).
Modalità Erogazione
Lezioni frontaliModalità Valutazione
Il voto di esame si basera' su compiti scritti svolti a casa e in classe.
scheda docente
materiale didattico
variet`a. Dimostreremo il teorema di Gauss-Bonnet per le superfici e il teorema di Hopf-Rinow che vale in dimensione qualsiasi. La dimostrazione di
entrambi i risultati `e basata sullo studio delle geodetiche, le curve che minimizzano la distanza (almeno localmente) su una variet`a Riemanniana.
2. Integrazione sulle superfici. Area di una superficie e sua curvatura totale.
3. Derivata covariante. Derivata covariante di un campo di vettori tangenti, trasporto parallelo e geodetiche. Curvatura geodetica.
4. Teorema di Gauss-Bonnet. Dimostrazione del teorema di Gauss-Bonnet locale e globale, relazioni tra topologia e geometria di una superfiice.
5. Teorema di Hopf-Rinow. Variet`a Riemanniane di dimensione qualsiasi. L’applicazione esponen- ziale, intorni convessi. Variet`a complete: teorema di
Hopf-Rinow. Applicazioni: Teorema di rigidit`a della sfera.
6. Esercizi. Esercizi scritti e complementi.
[1] M. Do Carmo , Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice Hall, (1976). [2] M. Do Carmo , Riemannian Geometry. Birk ̈auser, (1992).
[3] M.Abate, F.Tovena, Curve e Superfici. Springer, (2006).
[4] Marco Abate, Francesca Tovena, Geometria Differenziale. Springer, (2011).
Mutuazione: 20410444 GE430 - GEOMETRIA RIEMANNIANA in Matematica LM-40 PONTECORVO MASSIMILIANO
Programma
1. Introduzione. Lo scopo del corso `e trattare alcuni argomenti di Geometria Riemanniana che riguardano la relazione tra topologia e geometria dellevariet`a. Dimostreremo il teorema di Gauss-Bonnet per le superfici e il teorema di Hopf-Rinow che vale in dimensione qualsiasi. La dimostrazione di
entrambi i risultati `e basata sullo studio delle geodetiche, le curve che minimizzano la distanza (almeno localmente) su una variet`a Riemanniana.
2. Integrazione sulle superfici. Area di una superficie e sua curvatura totale.
3. Derivata covariante. Derivata covariante di un campo di vettori tangenti, trasporto parallelo e geodetiche. Curvatura geodetica.
4. Teorema di Gauss-Bonnet. Dimostrazione del teorema di Gauss-Bonnet locale e globale, relazioni tra topologia e geometria di una superfiice.
5. Teorema di Hopf-Rinow. Variet`a Riemanniane di dimensione qualsiasi. L’applicazione esponen- ziale, intorni convessi. Variet`a complete: teorema di
Hopf-Rinow. Applicazioni: Teorema di rigidit`a della sfera.
6. Esercizi. Esercizi scritti e complementi.
Testi Adottati
[1] M. Do Carmo , Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice Hall, (1976). [2] M. Do Carmo , Riemannian Geometry. Birk ̈auser, (1992).
[3] M.Abate, F.Tovena, Curve e Superfici. Springer, (2006).
[4] Marco Abate, Francesca Tovena, Geometria Differenziale. Springer, (2011).
Modalità Erogazione
Lezioni frontaliModalità Valutazione
Il voto di esame si basera' su compiti scritti svolti a casa e in classe.