Programma

Introduzione alla Teoria algebrica dei numeri:
Anelli degli interi in campi di numeri e fattorizzazione unica degli ideali.
Valori assoluti in un campo di numeri.

Altezza di Weil e Misura di Mahler:
Definizioni e proprietà.
Formula del prodotto.
Teorema di Northcott.
Teorema di Kroneker.

Equazioni di Thue:
Teorema di Thue sull’approssimazione diofantea.
Lemma di Siegel.
Le equazioni di Thue hanno un numero finito di soluzioni intere.

Dinamica aritmetica:
Punti (pre)periodici.
L’altezza canonica.
Funzioni razionali.

Equazioni diofantee in radici dell’unità:
Richiami sulle radici dell’unità e polinomi ciclotomici.
Il Teorema di Ihara-Serre-Tate.

Equidistribuzione:
Definizioni ed esempi.
Il Teorema di Bilu.
La congettura di Bogomolov.

Testi Adottati

Zannier - Lecture notes on Diophantine Analysis
Hindry, Silverman - Diophantine Geometry

Modalità Erogazione

Didattica frontale in aula su lavagna ed esercitazione in classe. Nel caso di un prolungamento dell’emergenza sanitaria da COVID-19 saranno recepite tutte le disposizioni che regolino le modalità di svolgimento delle attività didattiche e della valutazione degli studenti. In particolare si applicheranno le seguenti modalità: lezioni in streaming a distanza tramite la piattaforma Microsoft Teams.

Modalità Valutazione

L'esame consterà in un seminario di approfondimento con domande alla fine per verificare l'apprendimento del programma del corso.

Programma

Introduzione alla Teoria algebrica dei numeri:
Anelli degli interi in campi di numeri e fattorizzazione unica degli ideali.
Valori assoluti in un campo di numeri.

Altezza di Weil e Misura di Mahler:
Definizioni e proprietà.
Formula del prodotto.
Teorema di Northcott.
Teorema di Kroneker.

Equazioni di Thue:
Teorema di Thue sull’approssimazione diofantea.
Lemma di Siegel.
Le equazioni di Thue hanno un numero finito di soluzioni intere.

Dinamica aritmetica:
Punti (pre)periodici.
L’altezza canonica.
Funzioni razionali.

Equazioni diofantee in radici dell’unità:
Richiami sulle radici dell’unità e polinomi ciclotomici.
Il Teorema di Ihara-Serre-Tate.

Equidistribuzione:
Definizioni ed esempi.
Il Teorema di Bilu.
La congettura di Bogomolov.

Testi Adottati

Zannier - Lecture notes on Diophantine Analysis
Hindry, Silverman - Diophantine Geometry

Modalità Erogazione

Didattica frontale in aula su lavagna ed esercitazione in classe. Nel caso di un prolungamento dell’emergenza sanitaria da COVID-19 saranno recepite tutte le disposizioni che regolino le modalità di svolgimento delle attività didattiche e della valutazione degli studenti. In particolare si applicheranno le seguenti modalità: lezioni in streaming a distanza tramite la piattaforma Microsoft Teams.

Modalità Valutazione

L'esame consterà in un seminario di approfondimento con domande alla fine per verificare l'apprendimento del programma del corso.