Programma

Parte 1: Introduzione alla teoria di Lebesgue in R^n
Definizione delle funzioni L^1.
Teoremi sull’integrazione di limiti (convergenza monotòna, convergenza dominata, Lemma di Fatou).
Completezza di L^1 (Teorema di Riesz-Fischer).
Integrali iterati e teorema di Fubini.
Funzioni misurabili e misura di Lebesgue.
Convoluzione e regolarizzazione.
Teorema del cambio di variabili in R^n. Teorema della divergenza in R^n.

Parte 2: Fourier in L^2
Lo spazio di Hilbert L^2 (su domini limitati e su R^n).
Serie e trasformate di Fourier in L^2.

Parte 3: Fondamenti della teoria delle equazioni differenziali ordinarie
Esempi e classi di equazioni differenziali ordinarie.
Teorema di esistenza e unicità locale (Picard-Lindelof).
Dipendenza Lipschitz dai dati iniziali.
Soluzioni massimali e globali; criteri di globalità.
Sistemi lineari (struttura lineare, wronskiano); sistemi non omogenei (variazioni delle costanti; teorema di Liouville.
Sistemi lineari a coefficienti costanti (soluzione esponenziale).
Forma canonica di Jordan e analisi qualitativa delle soluzioni).
Flussi. Equazione variazionale. Dipendenza C^k da parametri.
Introduzione all’analisi qualitativa. '
Spazio delle fasi.
Uso della teoria di Fourier in equazioni differenziali (cenni).

Testi Adottati

Durante le lezioni verranno fornite note dattiloscritte.

Modalità Erogazione

Lezioni frontali ed esercitazioni. Tutto il materiale del programma verra spiegato a lezione. Le lezioni/esercitazioni includeranno un dialogo continuo con gli studenti: il feedback da parte degli studenti durante il corso è strumento fondamentale per la buona riuscita del corso stesso. Nel caso di un prolungamento dell’emergenza sanitaria da COVID-19 saranno recepite tutte le disposizioni (di Stato e dell'Università Roma Tre) che regolino le modalità di svolgimento delle attività didattiche . In particolare, lezioni a distanza potrebbero essere necessarie.

Modalità Frequenza

La frequenza è facoltativa e la comprensione del testo adottato è sufficiente per la piena fruizione del corso. Naturalmente la frequenza è auspicabile e FORTEMENTE consigliata essendo l'interazione tra docente e studenti strumento didattico fondamentale e irripetibile.

Modalità Valutazione

La valutazione è basata su una prova scritta e su una prova orale. La parte scritta verterà principalmente sulla parte 2 e 3.

Programma

Parte 1: Introduzione alla teoria di Lebesgue in R^n
Definizione delle funzioni L^1.
Teoremi sull’integrazione di limiti (convergenza monotòna, convergenza dominata, Lemma di Fatou).
Completezza di L^1 (Teorema di Riesz-Fischer).
Integrali iterati e teorema di Fubini.
Funzioni misurabili e misura di Lebesgue.
Convoluzione e regolarizzazione.
Teorema del cambio di variabili in R^n. Teorema della divergenza in R^n.

Parte 2: Fourier in L^2
Lo spazio di Hilbert L^2 (su domini limitati e su R^n).
Serie e trasformate di Fourier in L^2.

Parte 3: Fondamenti della teoria delle equazioni differenziali ordinarie
Esempi e classi di equazioni differenziali ordinarie.
Teorema di esistenza e unicità locale (Picard-Lindelof).
Dipendenza Lipschitz dai dati iniziali.
Soluzioni massimali e globali; criteri di globalità.
Sistemi lineari (struttura lineare, wronskiano); sistemi non omogenei (variazioni delle costanti; teorema di Liouville.
Sistemi lineari a coefficienti costanti (soluzione esponenziale).
Forma canonica di Jordan e analisi qualitativa delle soluzioni).
Flussi. Equazione variazionale. Dipendenza C^k da parametri.
Introduzione all’analisi qualitativa. '
Spazio delle fasi.
Uso della teoria di Fourier in equazioni differenziali (cenni).

Testi Adottati

Durante le lezioni verranno fornite note dattiloscritte.

Modalità Erogazione

Lezioni frontali ed esercitazioni. Tutto il materiale del programma verra spiegato a lezione. Le lezioni/esercitazioni includeranno un dialogo continuo con gli studenti: il feedback da parte degli studenti durante il corso è strumento fondamentale per la buona riuscita del corso stesso. Nel caso di un prolungamento dell’emergenza sanitaria da COVID-19 saranno recepite tutte le disposizioni (di Stato e dell'Università Roma Tre) che regolino le modalità di svolgimento delle attività didattiche . In particolare, lezioni a distanza potrebbero essere necessarie.

Modalità Frequenza

La frequenza è facoltativa e la comprensione del testo adottato è sufficiente per la piena fruizione del corso. Naturalmente la frequenza è auspicabile e FORTEMENTE consigliata essendo l'interazione tra docente e studenti strumento didattico fondamentale e irripetibile.

Modalità Valutazione

La valutazione è basata su una prova scritta e su una prova orale. La parte scritta verterà principalmente sulla parte 2 e 3.

Programma

Parte 1: Introduzione alla teoria di Lebesgue in R^n
Definizione delle funzioni L^1.
Teoremi sull’integrazione di limiti (convergenza monotòna, convergenza dominata, Lemma di Fatou).
Completezza di L^1 (Teorema di Riesz-Fischer).
Integrali iterati e teorema di Fubini.
Funzioni misurabili e misura di Lebesgue.
Convoluzione e regolarizzazione.
Teorema del cambio di variabili in R^n. Teorema della divergenza in R^n.

Parte 2: Fourier in L^2
Lo spazio di Hilbert L^2 (su domini limitati e su R^n).
Serie e trasformate di Fourier in L^2.

Parte 3: Fondamenti della teoria delle equazioni differenziali ordinarie
Esempi e classi di equazioni differenziali ordinarie.
Teorema di esistenza e unicità locale (Picard-Lindelof).
Dipendenza Lipschitz dai dati iniziali.
Soluzioni massimali e globali; criteri di globalità.
Sistemi lineari (struttura lineare, wronskiano); sistemi non omogenei (variazioni delle costanti; teorema di Liouville.
Sistemi lineari a coefficienti costanti (soluzione esponenziale).
Forma canonica di Jordan e analisi qualitativa delle soluzioni).
Flussi. Equazione variazionale. Dipendenza C^k da parametri.
Introduzione all’analisi qualitativa. '
Spazio delle fasi.
Uso della teoria di Fourier in equazioni differenziali (cenni).

Testi Adottati

Durante le lezioni verranno fornite note dattiloscritte.

Modalità Erogazione

Lezioni frontali ed esercitazioni. Tutto il materiale del programma verra spiegato a lezione. Le lezioni/esercitazioni includeranno un dialogo continuo con gli studenti: il feedback da parte degli studenti durante il corso è strumento fondamentale per la buona riuscita del corso stesso. Nel caso di un prolungamento dell’emergenza sanitaria da COVID-19 saranno recepite tutte le disposizioni (di Stato e dell'Università Roma Tre) che regolino le modalità di svolgimento delle attività didattiche . In particolare, lezioni a distanza potrebbero essere necessarie.

Modalità Frequenza

La frequenza è facoltativa e la comprensione del testo adottato è sufficiente per la piena fruizione del corso. Naturalmente la frequenza è auspicabile e FORTEMENTE consigliata essendo l'interazione tra docente e studenti strumento didattico fondamentale e irripetibile.

Modalità Valutazione

La valutazione è basata su una prova scritta e su una prova orale. La parte scritta verterà principalmente sulla parte 2 e 3.