Il corso ha un obiettivo sia formativo, introducendo al ragionamento e al simbolismo matematico, che di addestramento al calcolo.
Si vogliono fornire gli strumenti concettuali e metodologici per comprendere il linguaggio scientifico di base, fornendo i fondamenti dell'analisi matematica (in una variabile) e dell’algebra lineare (in due e tre dimensioni), orientati verso la comprensione dei modelli geometrici e fisico-matematici. Gli argomenti di calcolo differenziale e integrale in una variabile e l’algebra lineare vengono presentati sia dal punto di vista geometrico, che da quello analitico e se ne fornisce una descrizione modellistica. Il corso ha lo scopo di mettere lo studente in grado di comprendere i concetti matematici di base e utilizzarli in autonomia per formulare o leggere criticamente dei problemi e controllarne le applicazioni.
Si vogliono fornire gli strumenti concettuali e metodologici per comprendere il linguaggio scientifico di base, fornendo i fondamenti dell'analisi matematica (in una variabile) e dell’algebra lineare (in due e tre dimensioni), orientati verso la comprensione dei modelli geometrici e fisico-matematici. Gli argomenti di calcolo differenziale e integrale in una variabile e l’algebra lineare vengono presentati sia dal punto di vista geometrico, che da quello analitico e se ne fornisce una descrizione modellistica. Il corso ha lo scopo di mettere lo studente in grado di comprendere i concetti matematici di base e utilizzarli in autonomia per formulare o leggere criticamente dei problemi e controllarne le applicazioni.
scheda docente
materiale didattico
Coordinate cartesiane nel piano. Distanza tra punti sulla retta, nel piano. Equazione della circonferenza. Valore assoluto come distanza dall’origine di un punto sulla retta reale.
Algebra lineare (in 2 e 3 dimensioni): punti e vettori; pendenza di un segmento; somma e differenza di vettori, prodotto per uno scalare, condizioni di parallelismo; prodotto scalare, condizioni di ortogonalità; prodotto vettoriale, equivalenza della formulazione geometrica ed in coordinate per entrambi i prodotti.
Introduzione alle funzioni di una variabile, relazioni tra quantità. Grafico di una funzione. Algebra dei grafici.
Esempi e definizione di limite: all’infinito, e poi al finito. Operazioni con i limiti, Teorema del confronto. Limiti di quozienti di polinomi. Asintoti. Alcuni limiti notevoli.
Funzioni continue; continuità in un punto e in un intervallo. Teoremi sulle funzioni continue: esistenza del massimo e del minimo, valori intermedi. Discontinuità.
Funzioni esponenziale e logaritmo.
Derivate: significato geometrico, definizione. Operazioni con le derivate: somma, prodotto, quoziente, moltiplicazione per una costante. Tecniche di derivazione, derivate delle principali funzioni. Derivazione delle funzioni composte e dell’inversa di una funzione. Equazione della retta tangente in un punto al grafico. Punti stazionari.
Teorema di Fermat. Teoremi di Rolle e della media o di Lagrange. Monotonia e segno della derivata prima. Approssimazione lineare, o formula di Taylor al primo ordine. Derivate seconde, concavità, flessi. Studio completo di funzione. Variazioni correlate, tassi di crescita.
Introduzione agli integrali: integrali indefiniti e definiti, loro significato. Il problema del calcolo dell'area di una regione piana. Il teorema della media integrale. Il teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrazione per parti e sostituzione.
Introduzione alle Equazioni differenziali: modelli di crescita, equazione logistica. Metodo della separazione delle variabili; problemi di Cauchy. Crescita e decadimento esponenziale.
Oscillatore armonico, sua soluzione, discussione modellistica della soluzione.
Dario Benedetto, Mirko Degli Esposti, Carlotta Maffei Matematica per le scienze della vita, Terza edizione, Casa Editrice Ambrosiana. Zanichelli, 2015
Giorgio Israel, La Matematica e la realtà. Capire il mondo con i numeri. Carocci, 2015.
Fruizione: 20410079 ISTITUZIONI DI MATEMATICA in Ottica e optometria L-30 MAGRONE PAOLA
Programma
Quantificatori. I numeri: naturali, interi, razionali, reali. Assiomi dei numeri reali; densità di Q in R. Irrazionalità di radice di 2.Coordinate cartesiane nel piano. Distanza tra punti sulla retta, nel piano. Equazione della circonferenza. Valore assoluto come distanza dall’origine di un punto sulla retta reale.
Algebra lineare (in 2 e 3 dimensioni): punti e vettori; pendenza di un segmento; somma e differenza di vettori, prodotto per uno scalare, condizioni di parallelismo; prodotto scalare, condizioni di ortogonalità; prodotto vettoriale, equivalenza della formulazione geometrica ed in coordinate per entrambi i prodotti.
Introduzione alle funzioni di una variabile, relazioni tra quantità. Grafico di una funzione. Algebra dei grafici.
Esempi e definizione di limite: all’infinito, e poi al finito. Operazioni con i limiti, Teorema del confronto. Limiti di quozienti di polinomi. Asintoti. Alcuni limiti notevoli.
Funzioni continue; continuità in un punto e in un intervallo. Teoremi sulle funzioni continue: esistenza del massimo e del minimo, valori intermedi. Discontinuità.
Funzioni esponenziale e logaritmo.
Derivate: significato geometrico, definizione. Operazioni con le derivate: somma, prodotto, quoziente, moltiplicazione per una costante. Tecniche di derivazione, derivate delle principali funzioni. Derivazione delle funzioni composte e dell’inversa di una funzione. Equazione della retta tangente in un punto al grafico. Punti stazionari.
Teorema di Fermat. Teoremi di Rolle e della media o di Lagrange. Monotonia e segno della derivata prima. Approssimazione lineare, o formula di Taylor al primo ordine. Derivate seconde, concavità, flessi. Studio completo di funzione. Variazioni correlate, tassi di crescita.
Introduzione agli integrali: integrali indefiniti e definiti, loro significato. Il problema del calcolo dell'area di una regione piana. Il teorema della media integrale. Il teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrazione per parti e sostituzione.
Introduzione alle Equazioni differenziali: modelli di crescita, equazione logistica. Metodo della separazione delle variabili; problemi di Cauchy. Crescita e decadimento esponenziale.
Oscillatore armonico, sua soluzione, discussione modellistica della soluzione.
Testi Adottati
James Stewart, Calcolo. Funzioni di una variabile. Apogeo Education - Maggioli Editore (più i capitoli del secondo volume, sull’algebra lineare e sulle equazioni differenziali, che verranno forniti in pdf)Dario Benedetto, Mirko Degli Esposti, Carlotta Maffei Matematica per le scienze della vita, Terza edizione, Casa Editrice Ambrosiana. Zanichelli, 2015
Giorgio Israel, La Matematica e la realtà. Capire il mondo con i numeri. Carocci, 2015.
Modalità Erogazione
Il corso si compone di lezioni frontali ed esercitazioni. Durante le lezioni frontali gli argomenti del programma vengono esposti agli studenti con esempi, per poi passare ai casi generali e alle definizioni, teoremi e dimostrazioni. Gli argomenti vengono presentati sempre dal punto di vista geometrico, da quello analitico e se ne fornisce una descrizione modellistica. Nelle ore dedicate alle esercitazioni il docente propone alcuni esercizi e problemi, gli studenti hanno del tempo per risolverli da soli, o in gruppo, poi si passa ad una discussione in aula, e infine, se necessario, il docente espone la soluzione per esteso alla lavagna. Alcune delle ore di esercitazione vengono dedicate ad attività hands-on che prevedono l'utilizzo della carta e di altri materiali o l'uso del computer per la visualizzazione.Modalità Frequenza
Gli studenti devono aver seguito almeno il 75% delle lezioni per essere ammessi all'esameModalità Valutazione
La valutazione prevede una prova scritta ed una prova orale. Sono previste prove in itinere.